علامتا المسافة هما $0$ و$-2$. النقاط الفاصلة $-2,0$.

لماذا؟ تتغير إشارة العبارة داخل القيمة المطلقة فقط عند صفرها؛ نقسم خط الأعداد هناك.

عندما $x<-2$: $|x|=-x$ و$|x+2|=-x-2$؛ المجموع $-2x-2$.

لماذا؟ العبارتان سالبتان في هذه المنطقة، فنأخذ نظير كل منهما كي تكون المسافة غير سالبة.

$-2x-2≤4$ ثم $-2x≤6$ ثم $x≥-3$. مع شرط المنطقة $x<-2$ نحصل على $[-3,-2)$.

لماذا؟ نقلب اتجاه المتباينة عند القسمة على −2، ثم نأخذ التقاطع مع المنطقة التي استعملنا قاعدتها.

عندما $-2≤x≤0$: المجموع $-x+(x+2)=2$، لذلك المنطقة كلها مقبولة.

لماذا؟ داخل المسافة بين العلامتين، يزداد أحد الجزأين بمقدار ما ينقص الآخر؛ يبقى المجموع 2.

عندما $x>0$: المجموع $x+(x+2)=2x+2$؛ $2x+2≤4$ يعطي $x≤1$، فنأخذ $(0,1]$.

لماذا؟ العبارتان غير سالبتين هنا، ولا نقلب الاتجاه عند القسمة على 2 الموجبة.

نجمع الأجزاء: $[-3,-2)∪[-2,0]∪(0,1]=[-3,1]$.

لماذا؟ هذه حالات بديلة على خط واحد فنأخذ الاتحاد. الطرفان داخل الحل لأن المجموع عند كل منهما 4 والمساواة مسموحة.

العلامتان $1,5$؛ المسافة بينهما 4، وأصغر مجموع مسافتين هو 4.

لماذا؟ بين العلامتين تقسم النقطة المسافة بينهما إلى جزأين؛ خارجها تضيف ذهابا وعودة.

الزيادة المسموحة في المجموع $8-4=4$؛ كل وحدة ابتعاد خارج العلامتين تضيف وحدتين للمجموع، فالمسموح وحدتان في كل جهة.

لماذا؟ خارج العلامتين، كل خطوة بعيدا تزيد المسافتين معا.

الطرف الأيسر $1-2=-1$ والأيمن $5+2=7$؛ إذن $[-1,7]$.

لماذا؟ نحتفظ بكل النقاط بين الطرفين، ونفحص الأطراف: $2+6=8$ في اليسار و$6+2=8$ في اليمين.

إذا صار الرمز $<8$ فالحل $(-1,7)$؛ وإذا كان الحد $<4$ فالحل فارغ.

لماذا؟ الحد الصارم يستبعد المساواة. لا يمكن أن يقل مجموع المسافتين عن المسافة الثابتة بين العلامتين.

$-3≤x≤3$ و$-2<y<2$.

لماذا؟ القيمة المطلقة تقيس بعد الإحداثي عن الصفر، فلا نختار جهة واحدة فقط.

الأول شريط رأسي بين $x=-3$ و$x=3$، والثاني شريط أفقي بين $y=-2$ و$y=2$.

لماذا؟ x يتحكم في الاتجاه الأفقي، وy في الاتجاه الرأسي؛ كل شريط وحده يسمح بإحداثي آخر غير مقيد.

الحل تقاطع الشريطين: مستطيل داخله ومع الحافتين الرأسيتين دون الحافتين الأفقيتين.

لماذا؟ النظام يعني AND: الشرطان مطلوبان معا. x حده شامل، وy حده صارم.

$(3,1.5)$ داخل الحل؛ $(3,2)$ خارجه؛ الأركان الأربعة كلها مستبعدة.

لماذا؟ الأولى تحقق $3≤3$ و$1.5<2$. الثانية تحقق x لكن $2<2$ خطأ؛ كل ركن يقع على حد y المستبعد.

في الربع الأول: $x+y≤3$؛ في الثاني: $-x+y≤3$؛ في الثالث: $-x-y≤3$؛ في الرابع: $x-y≤3$.

لماذا؟ نحدد إشارات الإحداثيين في كل ربع قبل إزالة القيم المطلقة.

الحد يمر بـ$(3,0),(0,3),(-3,0),(0,-3)$، ونصلها بمعين.

لماذا؟ كل نقطة حدية مجموع بعديها عن المحورين 3؛ ليست المنطقة دائرة لأن المقياس مجموع قيم مطلقة.

الداخل والحد مقبولان. $(1,2)$ يحقق الحد، بينما $(2,2)$ خارجه.

لماذا؟ نختبر $|1|+|2|=3$ و$|2|+|2|=4$. لا يكفي أن يكون كل إحداثي على حدة أقل من 3.