بالدرس السابق بحثنا عن مسافة تساوي حدًا معينًا. اليوم نسأل: هل نبقى أقرب من الحد، أم نبتعد أكثر منه؟ وهل نسمح بالمساواة؟
نفس العلامة، أماكن داخل وعلى وخارج الحد
نتخيل العلامة عند 3، وحد المسافة 2. الأرقام على الصور لتوضيح الحالات؛ خط الأعداد التالي يحدد المسافات بمقياس منتظم.
قريب: داخل حد المسافة 2
الموقع والعلامة: 3
∣3−3∣=0
عند العلامة، المسافة صفر. يحقق شرط المسافة أقل من 2، ولا يحقق شرط المسافة أكبر من 2.
يسارًا: على الحد، وليس داخله
x=12 وحداتالعلامة: 3
∣1−3∣=2
المسافة 2 بالضبط. لا نقبلها مع < أو >، ونقبل المساواة مع ≤ أو ≥.
يمينًا: نفس الحد ونفس الحكم
x=52 وحداتالعلامة: 3
∣5−3∣=2
الجهة لا تغيّر المسافة: هذا أيضًا على الحد 2. نراجع الرمز لنقرر قبول الحد.
أبعد يسارًا: خارج حد المسافة
x=03 وحداتالعلامة: 3
∣0−3∣=3
نمثل موقعًا على مسافة 3 من العلامة 3. المسافة أكبر من 2، فيحقق شرط الخارج من جهة اليسار.
أبعد يمينًا: الخارج له جهة ثانية
x=63 وحداتالعلامة: 3
∣6−3∣=3
نمثل موقعًا على مسافة 3 في الجهة الثانية. الخارج يقبل اليسار أو اليمين؛ لا نطلب الموقع في الجهتين معًا.
توقّع: الموقع 5 مقبول في |x−3|<2؟
غيّر الرمز وشاهد مجموعة الحلول
∣x−(3)∣<2
الأزرق: المواقع المقبولة. الدائرة الفارغة تستبعد الحد، والممتلئة تضمه. الأسهم تعني استمرار الخارج. المثلث يحدد الموقع الذي نجربه، والنقطة الصغيرة هي العلامة c.
الموقع x=3 يبعد 0 عن العلامة c=3.
هذا الموقع مقبول في المتباينة.
مجموعة الحلول:
1<x<5
جرّب حد المسافة صفرًا ثم −1. المسافة الفعلية غير سالبة؛ لذلك المقارنة بحد سالب قد تقبل كل المواقع أو لا تقبل أي موقع، حسب الرمز. مثلًا |x−c|>−1 صحيحة لكل x حقيقي، و|x−c|<−1 بلا حل.
ثلاثة أمثلة: الداخل، الخارج، ثم العزل
١ · الداخل يحتاج حدين معًا
∣x−3∣<2⇒−2<x−3<2
البعد أصغر من 2 فيلزم البقاء داخل الحدين.
1<x<5
نضيف 3 للأجزاء الثلاثة. نحتاج x أكبر من 1 وأصغر من 5 معًا.
٢ · الخارج يقبل إحدى الجهتين
∣x−3∣>2⇒x−3<−2orx−3>2
قد نبتعد يسارًا أو يمينًا. لا يوجد موقع في الجهتين معًا.
x<1orx>5
نضيف 3 في كل فرع. لا نضم 1 و5 لأن الشرط أكبر من فقط.
٣ · نعزل القيمة المطلقة ونحافظ على المساواة
2∣x−1∣+1≤7
نبدأ بعزل القيمة المطلقة قبل رسم المنطقة.
2∣x−1∣≤6⇒∣x−1∣≤3
نطرح 1 ثم نقسم على 2، وهو موجب فلا نعكس المتباينة.
−3≤x−1≤3⇒−2≤x≤4
الداخل بين حدين مشمولين لأن الرمز يسمح بالمساواة.
انتبه: الداخل يعني شرطين معًا «و»، والخارج يعني إحدى الجهتين «أو». مع ≤ أو ≥ نضم الحدين. لا نقلب الرمز إلا إذا ضربنا أو قسمنا طرفي المتباينة بعدد سالب.
القيمة المطلقة مع متغيرين: أين المكان المشترك؟
y>∣x∣,y≤3
|x| هو الأكبر من x و−x. لذلك حتى يكون y أكبر منه، لازم يكون y>x وy>−x معًا. نحتاج المنطقة فوق جانبي V، وتحت أو على الخط y=3.
حد V متقطع لأنه غير مشمول. الخط y=3 متصل لأنه مشمول، لكن طرفيه (−3،3) و(3،3) مستبعدان لأنهما لا يحققان الشرط الصارم الآخر.
القيمة المطلقة: |-2|=2.
الشرط الأول: 2>2 · غير متحقق.
الشرط الثاني: 2≤3 · متحقق.
النقطة غير مقبولة: راجع الشرط غير المتحقق.
ستة تدريبات: أختار وأفسّر وأعدّ
التدريب 1 · أي مجموعة حلول صحيحة؟
∣x−4∣<3
التدريب 2 · أي مجموعة حلول صحيحة؟
∣x+2∣≥2
التدريب 3 · أي مجموعة حلول صحيحة؟
2∣x−1∣+1<7
التدريب 4 · أي مجموعة حلول صحيحة؟
∣2x+1∣>3
التدريب 5 · أي نقطة تحقق الشرطين؟
y>∣x∣,y≤3
التدريب 6 · الأعداد الصحيحة داخل المسافة
∣x−3∣<2
كم عددًا صحيحًا يحقق المتباينة؟ لا نعد كل الأعداد الحقيقية.
أراجع مسار المعادلات والمتباينات
في المعادلة نبحث عن مساواة، وفي المتباينة نبحث عن مجموعة تحقق المقارنة. في كل نظام نفحص جميع الشروط بالقيم نفسها. احكِ لماذا الداخل يحتاج «و»، ولماذا الخارج يحتاج «أو»، ومتى نضم الحدود.
