بدنا نختار تفاحًا وبرتقالًا. عندنا شرطين: المجموع ما يزيد عن 6 ثمرات، والبرتقال أكثر من التفاح. مش بندوّر على اختيار واحد فقط؛ ممكن يكون في عدة اختيارات صحيحة.
كل صورة تخبرنا أي شرط تحقق
x عدد التفاح، وy عدد البرتقال. العددان غير سالبين؛ وفي شراء ثمار كاملة نأخذهما صحيحين.
x+y≤6,y>x,x≥0,y≥0
مقبول: الشرطان متحققان
x = 1 تفاحy = 3 برتقال
1+3=4≤6,3>1
أربع ثمرات أقل من الحد، والبرتقال أكثر من التفاح. الاختيار يحقق الشرطين معًا.
مرفوض: التساوي ليس أكثر من
x = 3 تفاحy = 3 برتقال
3+3=6,3=3
المجموع مسموح، لكن النوعين متساويان. شرط البرتقال أكثر من التفاح لم يتحقق.
مقبول: المجموع 6 مشمول
x = 2 تفاحy = 4 برتقال
2+4=6,4>2
وصلنا للحد نفسه دون تجاوزه. عبارة «ما يزيد عن 6» تسمح بالمساواة، والشرط الثاني متحقق.
مرفوض: شرط واحد لا يكفي
x = 2 تفاحy = 5 برتقال
2+5=7>6,5>2
البرتقال أكثر، لكن المجموع تجاوز 6. لازم يتحقق الشرطان، وليس أحدهما فقط.
توقّع: اختيار 3 تفاح و3 برتقال يحقق النظام؟
حرّك الأعداد وشاهد المنطقة المشتركة
الأزرق: حد المجموع. الأحمر المتقطع: التساوي بين النوعين، وهو مستبعد من «أكثر من». التظليل الأخضر هو المنطقة التي اخترنا عرضها. النقطة التي نجربها: (1, 3).
شرط المجموع: 1+3=4 ≤ 6 · متحقق
شرط المقارنة: 3>1 · متحقق
مقبول: يحقق الشرطين معًا.
غيّر معنى الحد
جرّب (2،4)، ثم غيّر الحد: هل تتغير الأعداد أم يتغير شرط القبول؟
المنطقة الرياضية الخضراء تحتوي نقاطًا حقيقية، منها كسور. أمّا خطة شراء ثمار كاملة فنأخذ منها النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة غير السالبة. المنزلق يجرّب هذه الأعداد الصحيحة.
كيف نرسم الحد ونختار الجهة؟
١ · نرسم حد المجموع
x+y=6⇒y=6−x
يمر بـ(0،6) و(6،0). نرسمه متصلًا مع ≤ لأن المساواة مشمولة، ومتقطعًا مع < لأنها مستبعدة.
٢ · نجرب نقطة لتحديد الجهة
للمجموع، النقطة (0،0) تعطي 0≤6، فجهتها مقبولة لهذا الشرط وحده. هذا لا يجعلها حلًا للنظام كله.
٣ · نرسم حد المقارنة
y=x
الحد متقطع لأن y>x تستبعد التساوي. النقطة (0،1) تحقق 1>0؛ نختار الجهة فوق الخط.
٤ · نأخذ المشترك ونراجع السياق
نأخذ النقاط التي تحقق الشرطين معًا، ومع قيود القصة نكتفي بالربع الأول وبالأعداد الصحيحة لثمار كاملة. لا نجمع كل تظليلين دون فحص المشترك.
−y<−x⇒y>x
إذا ضربنا أو قسمنا طرفي متباينة بعدد سالب نعكس رمزها. مثلًا −2<−1، لكن بعد الضرب بـ−1 تصبح 2>1.
ثلاثة أمثلة تربط الرسم بالحساب
١ · هل نقطة على الحد دائمًا مرفوضة؟
(x,y)=(2,4),x+y=6≤6,4>2
لا. هذه على حد المجموع المشمول، وتحقق المقارنة. لكن (3،3) تقع أيضًا على حد المجموع وتخالف y>x؛ لذلك هي مرفوضة. نوع الحد والشرط الآخر يحددان الحكم.
٢ · نثبت التفاح ونبحث عن كل الخيارات
x=1⇒1+y≤6,y>11<y≤5
لثمار كاملة: y يمكن أن تكون 2 أو3 أو4 أو5. أما في النظام الحقيقي فكل قيمة بين 1 و5، عدا1، تحقق الشرطين؛ ليست الخيارات محصورة في أربعة أعداد.
٣ · خارج القصة، قد يقبل النظام أعدادًا سالبة
x+y≤4,y>x(x,y)=(−1,0)⇒−1≤4,0>−1
الزوج مقبول في هذا النظام الجبري الذي لا يشترط x≥0. نستبعد الأعداد السالبة في قصة عدد الثمار بسبب معناها، وليس لأن المتباينات تمنعها دائمًا.
خمسة تدريبات: أحكم وأشرح
لاحظ تغيّر الحد إلى 5 في التدريبات الثلاثة الأولى. لا تستخدم شرط 6 من القصة دون قراءة معطيات التدريب.
خطة جديدة · الحد هذه المرة 5
x+y≤5,y>x,x,y≥0
هل الزوج (1, 4) مقبول؟
الأزرق: حد المجموع. الأحمر المتقطع: التساوي بين النوعين، وهو مستبعد من «أكثر من». التظليل الأخضر هو المنطقة التي اخترنا عرضها. النقطة التي نجربها: (1, 4).
خطة جديدة · الحد هذه المرة 5
x+y≤5,y>x,x,y≥0
هل الزوج (2, 2) مقبول؟
الأزرق: حد المجموع. الأحمر المتقطع: التساوي بين النوعين، وهو مستبعد من «أكثر من». التظليل الأخضر هو المنطقة التي اخترنا عرضها. النقطة التي نجربها: (2, 2).
خطة جديدة · الحد هذه المرة 5
x+y≤5,y>x,x,y≥0
هل الزوج (1, 5) مقبول؟
الأزرق: حد المجموع. الأحمر المتقطع: التساوي بين النوعين، وهو مستبعد من «أكثر من». التظليل الأخضر هو المنطقة التي اخترنا عرضها. النقطة التي نجربها: (1, 5).
أعدّ الخيارات الصحيحة
x+y≤6,y>x
ثبتنا عدد التفاح عند x = 2. كم قيمة صحيحة غير سالبة لعدد البرتقال y تحقق الشرطين؟
أعدّ الخيارات الصحيحة
x+y≤5,y>x
ثبتنا عدد التفاح عند x = 1. كم قيمة صحيحة غير سالبة لعدد البرتقال y تحقق الشرطين؟
أراجع بكلماتي
المتباينة تسمح بجهة، والنظام يطلب المشترك بين الجهات. نميز الحد المشمول من المستبعد، ونفحص النقطة نفسها في كل الشروط، ثم نراجع قيود القصة. عدد الحلول الحقيقية يختلف عن عدد خطط الشراء الصحيحة.
