نظرية بلزانو
لاحظ وتوقع
اختلاف إشارة الطرفين وحده يكفي لبلزانو؟
جرّب وفسّر
على[1,2] ندرسf(x)=x²−2؛ جرّب تضييق موضع تغير الإشارة.
الأرقام على المحور تخص النموذج الدقيق، وليست قياسات مستنتجة من الصورة.
x=1 ; f(x)=-1
الرسم نموذج كثير الحدود المتصلx²−2، طرفاه−1 و2. الجذر داخل(1,2). بلزانو تثبت الوجود؛ اختيار قيم أكثر يضيق المكان دون إثبات التفرد.
إذا كان f متصلا على فترة مغلقة محدودة[a,b] وf(a)f(b)<0، فهناكc داخل(a,b) بحيثf(c)=0. الشروط كافية وليست ضرورية ولا تثبت تفرد الجذر.
ثلاثة أمثلة محلولة خطوة خطوة
على[1,2].
- كثير حدود، متصل على الفترة المغلقة.
- f(1)=-1 وf(2)=2؛ حاصل الضرب سالب.
- يوجدc بين1 و2 جذره صفر؛ النظرية لا تحسبه بدقة.
على[-1,1].
- قيم الطرفين-1 و1 متعاكستان.
- لكنf غير معرف عند0، فلا يوجد اتصال على الفترة.
- لا تنطبق النظرية، ولا يوجد جذر لهذا الاقتران.
على[-1,1].
- f متصل ولديه جذر0.
- قيم الطرفين1 و1؛ حاصل الضربموجب.
- الشروط لا تتحقق، لكن الجذر موجود: شرط الإشارة كاف وليس ضروريا.
تدرّب: من المباشر إلى تفسير الخطأ
اكتب عددًا أو كسرًا، أو الجواب اللفظي المطلوب. تظهر خطوات الحل بعد محاولة صالحة، حتى إذا كانت الإجابة خاطئة. التلميح متاح قبل المحاولة.
x²-3 على[1,2]؛ هل بلزانو تضمن جذرا داخليا؟
1/x على[-1,1]؛ هل تنطبق؟
x² على[-1,1]؛ هل يوجد جذر رغم عدم اختلاف إشارة الطرفين؟
هل بلزانو وحدها تضمن جذرا واحدا فقط؟