رياضيات الصف الحادي عشر · العلمي · الفصل الثاني

المتتاليات، المتسلسلات، الحد العام الحسابي ومجموعه، والحد العام الهندسي ومجموعه المنتهي.

المتسلسلات: من قائمة إلى مجموع

لدينا صور الأيام: 3 ثم 5 ثم 7 أصص. المتتالية تخبرنا بعدد اليوم، أما المتسلسلة فتجمع أعداد الأيام عندما نعد الإنجاز الكلي.

لاحظ الصور بالترتيب

الأشخاص أنفسهم يرتبون صفا من الأصص يزداد بأصيصين — اليوم 1 · $a_1=3$ · نبدأ بثلاثة

توقع قبل التجربة

ما مجموع أعداد الأيام الثلاثة؟

جرّب: ما الذي يتغير؟

افتح المواقع1 و2 و3 و6، ثم جرّب النقصان أو التنصيف أو الثبات. قارن الحد بالمجموع. القيم السالبة عددية على الرسم؛ لا تمثل أصصا سالبة.

الموقع n: 1

n=1

البداية

قيمة الحد a1 = 3

مجموع الحدود S1 = 3

عدد الانتقالات $n-1=0$ ؛ البداية $a_1=3$ ، الفرق $d=2$ .

الأفقي رقم الحد، والعمودي قيمته. النقاط منفصلة لأن المواقع أعداد صحيحة موجبة. مقياس الرسم يتغير مع القيم.

أزواج الطرفين

3 (وسط)

عند العدد الفردي يبقى حد أوسط يساوي متوسط الطرفين.

المواقع التي شاهدتها: 1

من المشهد إلى الرموز والقانون

1. المتتالية $3,5,7,\ldots$ قائمة؛ المتسلسلة $3+5+7+\ldots$ جمع حدودها.
2. $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ مجموع أول n حدود، و $a_n$ آخر حد فقط.
3. الرمز $\sum_{k=1}^{3}(2k+1)$ يعني عوض k بالقيم 1 ثم2 ثم3 واجمع النتائج. حرف الجمع مؤقت.
4. $a_n=S_n-S_{n-1}$ عندما $n\ge2$ ؛ نحذف مجموع ما سبق ليبقى الحد الجديد.

أمثلة مفسرة: حاول ثم افتح خطوات الحل

الصورة تذكّرنا بفكرة ترتيب المراحل؛ أعداد هذا السؤال مكتوبة على الصورة، وقد تختلف عن عدد الأصص في قصة البداية.

مثال نفهمه خطوة خطوة 1

احسب $\sum_{k=1}^{3}(2k+1)$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

مثال نفهمه خطوة خطوة 2

إذا $S_4=24$ و $S_3=15$ ، أوجد $a_4$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

مثال نفهمه خطوة خطوة 3

احسب $\sum_{k=2}^{4}k^2$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

تدريبات متدرجة: العدد ثم السبب

تدريب 1

اجمع أول3 حدود من $2,4,8,\ldots$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

تدريب 2

احسب $\sum_{k=1}^{4}k$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

تدريب 3

إذا $S_5=40$ و $S_4=28$ ، فما $a_5$ ؟

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

تدريب 4

احسب $\sum_{k=2}^{4}(k+1)$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

تدريب 5

إذا $S_n=n^2$ ، فما $a_3$ ؟

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

رياضيات الصف الحادي عشر · العلمي · الفصل الثاني

المتتاليات، المتسلسلات، الحد العام الحسابي ومجموعه، والحد العام الهندسي ومجموعه المنتهي.

المتسلسلات: من قائمة إلى مجموع

لاحظ الصور بالترتيب

توقع قبل التجربة

ما مجموع أعداد الأيام الثلاثة؟

جرّب: ما الذي يتغير؟

الموقع n: 1

n=1

البداية

قيمة الحد a1 = 3

مجموع الحدود S1 = 3

عدد الانتقالات $n-1=0$ ؛ البداية $a_1=3$ ، الفرق $d=2$ .

الأفقي رقم الحد، والعمودي قيمته. النقاط منفصلة لأن المواقع أعداد صحيحة موجبة. مقياس الرسم يتغير مع القيم.

أزواج الطرفين

3 (وسط)

عند العدد الفردي يبقى حد أوسط يساوي متوسط الطرفين.

المواقع التي شاهدتها: 1

من المشهد إلى الرموز والقانون

1. المتتالية $3,5,7,\ldots$ قائمة؛ المتسلسلة $3+5+7+\ldots$ جمع حدودها.
2. $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ مجموع أول n حدود، و $a_n$ آخر حد فقط.
3. الرمز $\sum_{k=1}^{3}(2k+1)$ يعني عوض k بالقيم 1 ثم2 ثم3 واجمع النتائج. حرف الجمع مؤقت.
4. $a_n=S_n-S_{n-1}$ عندما $n\ge2$ ؛ نحذف مجموع ما سبق ليبقى الحد الجديد.

أمثلة مفسرة: حاول ثم افتح خطوات الحل

مثال نفهمه خطوة خطوة 1

احسب $\sum_{k=1}^{3}(2k+1)$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

مثال نفهمه خطوة خطوة 2

إذا $S_4=24$ و $S_3=15$ ، أوجد $a_4$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

مثال نفهمه خطوة خطوة 3

احسب $\sum_{k=2}^{4}k^2$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

تدريبات متدرجة: العدد ثم السبب

تدريب 1

اجمع أول3 حدود من $2,4,8,\ldots$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

تدريب 2

احسب $\sum_{k=1}^{4}k$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

تدريب 3

إذا $S_5=40$ و $S_4=28$ ، فما $a_5$ ؟

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

تدريب 4

احسب $\sum_{k=2}^{4}(k+1)$ .

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.

تدريب 5

إذا $S_n=n^2$ ، فما $a_3$ ؟

محاولتك العددية

الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى لو كانت خاطئة.