1. أي مساواة توضح الإبدال في الجمع؟
- −2 + 5 = 5 + (−2)
- −2 + 0 = −2
- −2 + 2 = 0
- −2 × 1 = −2
تحقق من الحل بعد المحاولة
−2 + 5 = 5 + (−2)
تبادل العددان موضعيهما وبقيت عملية الجمع.
الأعداد الصحيحة
خواص العمليات على الأعداد الصحيحة
ماذا سنتعلم؟
- استخدام الإبدال والتجميع والتوزيع
- تحديد العنصر المحايد والمعكوس الجمعي
- تمييز العمليات المغلقة على الأعداد الصحيحة
سؤال من الحياة
يعد بائع ثلاث سلات ثم خمس سلات. هل يتغير المجموع إذا عد الخمس أولا؟
صوت مولّد آليًا
جرب تغيير الترتيب
احسب 3 + (−5) و−5 + 3؛ النتيجة −2 في الحالتين. واحسب 3 − (−5) = 8 و−5 − 3 = −8؛ الطرح لا يقبل الإبدال.
صوت مولّد آليًا
اختر التجميع المفيد
للجمع والضرب خاصيتا الإبدال والتجميع. مثلا −7 + 12 + 7 = (−7 + 7) + 12 = 12. أما الطرح والقسمة فلا يقبلان الإبدال أو التجميع عموما.
صوت مولّد آليًا
المحايد والمعكوس والتوزيع
الصفر محايد جمعي: أ + 0 = أ. والواحد محايد ضربي: أ × 1 = أ. معكوس أ الجمعي هو −أ لأن أ + (−أ) = 0. والتوزيع: أ × (ب + ج) = أ × ب + أ × ج.
صوت مولّد آليًا
هل يبقى الناتج صحيحا
الأعداد الصحيحة مغلقة تحت الجمع والطرح والضرب؛ ناتج أي عملية منها بين عددين صحيحين عدد صحيح. لكنها غير مغلقة تحت القسمة: 1 ÷ 2 = 1/2. والقسمة على الصفر غير معرفة أصلا.
صوت مولّد آليًا
القاعدة
الإبدال والتجميع للجمع والضرب؛ والتوزيع يربط الضرب بالجمع أو الطرح. الصفر محايد جمعي، والواحد محايد ضربي، ومعكوس أ الجمعي هو −أ.
صور من الحياة
مثال محلول 1
احسب −18 + 9 + 18 بأيسر طريقة، وسم الخواص.
- نبدل ترتيب 9 و18: −18 + 18 + 9 باستخدام الإبدال.
- نجمع (−18 + 18) + 9 باستخدام التجميع.
- المعكوسان مجموعهما صفر؛ 0 + 9 = 9 باستخدام المحايد الجمعي.
الناتج: 9
مثال محلول 2
احسب (−4) × (10 − 3) بالتوزيع ثم تحقق.
- نوزع على الحدين: (−4) × 10 − (−4) × 3.
- نحسب: −40 − (−12) = −40 + 12 = −28.
- التحقق: داخل القوس 10 − 3 = 7، ثم −4 × 7 = −28.
الناتج: −28
جرّب بنفسك
2. ما العنصر المحايد الضربي؟
- 0
- 1
- 2
- −1
تحقق من الحل بعد المحاولة
1
ضرب أي عدد في 1 يعيد العدد نفسه.
3. ما المعكوس الجمعي للعدد −9؟
- 1/9
- 9
- 0
- −9
تحقق من الحل بعد المحاولة
9
−9 + 9 = 0.
4. أي عملية ليست مغلقة على الأعداد الصحيحة؟
- الجمع
- القسمة
- الطرح
- الضرب
تحقق من الحل بعد المحاولة
القسمة
مثلا 1 ÷ 2 يعطي نصفا، وهو ليس صحيحا.
5. ما التوزيع الصحيح للعدد −3 على (4 + 2)؟
- −3 × 4 − 3 × 2
- 3 × 4 + 3 × 2
- −3 × 4 + 2
- −3 + 4 + 2
تحقق من الحل بعد المحاولة
−3 × 4 − 3 × 2
نضرب −3 في 4 وفي 2، فنحصل على −12 − 6 = −18.
6. أي مساواة توضح التجميع؟
- 2 + 3 = 3 + 2
- 2 + 0 = 2
- (2 + 3) + (−4) = 2 + (3 + (−4))
- 2 × 1 = 2
تحقق من الحل بعد المحاولة
(2 + 3) + (−4) = 2 + (3 + (−4))
الترتيب ثابت لكن موضع الأقواس تغير.
7. هل الطرح يقبل الإبدال عموما؟
- نعم دائما
- نعم إذا كان أحدهما صفرا
- لا؛ مثلا 5 − 2 يختلف عن 2 − 5
- نعم إذا كان العددان صحيحين
تحقق من الحل بعد المحاولة
لا؛ مثلا 5 − 2 يختلف عن 2 − 5
5 − 2 = 3، بينما 2 − 5 = −3؛ مثال مضاد يكفي.
8. احسب −25 + 17 + 25 بأيسر طريقة.
- 17
- −17
- 67
- −33
تحقق من الحل بعد المحاولة
17
نجمع −25 و25 أولا فنحصل على 0، ثم نضيف 17.
إذا واجهتك صعوبة
اختبر أي خاصية بمثال عددي صغير قبل استخدامها. لا تنقل خاصية من الجمع إلى الطرح دون تحقق، وميز المحايد الجمعي 0 من الضربي 1.
تطبيق جديد
اكتب مثالا يثبت أن القسمة ليست إبدالية، ثم مثالا تستخدم فيه توزيع الضرب على الجمع لتسهيل حساب ذهني.