العلمي · الفصل الثاني · الوحدة السادسة

القطع الزائد

محطتان وقياسان للمسافة: إذا بقي فرق المسافتين ثابتًا، أين يمكن أن نقف؟ نستخدم حبلين للقياس ونرسم نموذجًا له فرعان.

من الموقف إلى النموذج

1 · نضع علامتين ثابتتين تمثلان محطتي القياس. الصورة تقرب الموقف؛ الرسم المجاور يحدد القياس والمحاور بدقة.

2 · نقيس البعد عن كل محطة بحبل منفصل؛ لا نستخدم خيطًا مغلقًا كما في الناقص. الصورة تقرب الموقف؛ الرسم المجاور يحدد القياس والمحاور بدقة.

3 · نبحث عن مواضع يبقى فيها الفرق المطلق ثابتًا؛ الفرعان ينشآن على جانبي المركز. الصورة تقرب الموقف؛ الرسم المجاور يحدد القياس والمحاور بدقة.

الأزرق هو القطع، الأحمر بؤرة، الذهبي رأس. الأخضر دليل المكافئ أو خطا تقارب الزائد. كل مربع وحدة واحدة؛ العرض مقطع مستوٍ دقيق.

أتوقع ثم أغيّر

إذا نقلنا المركز أو الرأس وحدتين إلى اليمين، ماذا يحدث للبؤرة؟ اختر توقعك ثم غيّر الإزاحة الأفقية إلى 2.

التجربة متاحة بعد التوقعالإزاحة الأفقية: 0الإزاحة الرأسية: 0نصف المحور a: 5نصف المحور b: 3

V/C = (0, 0) · a = 5, b = 3, c = 5.831 · F = (5.83, 0.00) / (-5.83, 0.00)

لماذا لا تتغير المسافات داخل القطع عند نقله فقط؟

أفهم الرموز والعلاقات

تعريف القطع الزائد: $|PF_1-PF_2|=2a$ ؛ البؤرتان تبعدان c عن المركز و $c^2=a^2+b^2$ .

أفقيا: $\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ؛ رأسيا: $\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1$ . الحد الموجب يحدد المحور الحقيقي.

أفقيا خطا التقارب $y-k=\pm\frac ba(x-h)$ ؛ رأسيا $y-k=\pm\frac ab(x-h)$ .

الرأسان يبعدان a عن المركز على المحور الحقيقي. طولا المحور الحقيقي والتخيلي $2a,2b$ . نرسم مستطيلا مساعدا وخطي تقارب؛ الخطان ليسا جزءا من القطع.

الاختلاف المركزي $e=c/a>1$ في القطع الزائد. البعد البؤري الكامل $2c$ ؛ يجب التمييز بين c وهذه المسافة.

أمثلة محلولة مع تفسير الخطوات

١ · فرعان أفقيان

نربط المعطيات بالتجربة، ثم نحسب الصورة تقرب الموقف؛ الرسم المجاور يحدد القياس والمحاور بدقة.

$x^2/9-y^2/16=1$ ؛ $a=3,b=4,c=\sqrt{9+16}=5$ .
الرأسان $(\pm3,0)$ والبؤرتان $(\pm5,0)$ ؛ طول الحقيقي $6$ والتخيلي $8$ .
خطي التقارب $y=\pm(4/3)x$ ؛ لأن القطع أفقي.

٢ · قطع رأسي منتقل

$(y+1)^2/9-(x-2)^2/16=1$ ؛ المركز $(2,-1)$ والحد الموجب رأسي.
الرأسان $(2,2),(2,-4)$ والبؤرتان $(2,4),(2,-6)$ .
خطي التقارب $y+1=\pm(3/4)(x-2)$ ؛ لا نستخدم الميل الأفقي 4/3.

٣ · من البؤرتين والرأس إلى المعادلة

البؤرتان $(\pm5,0)$ والرأس $(3,0)$ ؛ إذن $c=5,a=3$ .
$b^2=c^2-a^2=25-9=16$ ، المعادلة $x^2/9-y^2/16=1$ .
عند الرأس: البعدان عن البؤرتين $2,8$ ، وفرقهما المطلق $6=2a$ .

٤ · أستخرج المعادلة من الاختلاف المركزي

محور حقيقي أفقي طوله 6 و $e=5/3$ ؛ إذن $a=3$ ، و $c=ea=5$ .
$b^2=c^2-a^2=25-9=16$ ، فتكون المعادلة $x^2/9-y^2/16=1$ .
لو كان المحور الحقيقي رأسيا تصبح $y^2/9-x^2/16=1$ ؛ الاتجاه يحتاج معلومة مستقلة.

٥ · معادلة عامة

$16x^2-9y^2=144$ ؛ نقسم على 144.
$x^2/9-y^2/16=1$ ؛ الحد الموجب x يدل على قطع أفقي.
$c=5,e=5/3$ ؛ البؤرتان $(\pm5,0)$ وخطا التقارب $y=\pm(4/3)x$ .

٦ · حذف وسيط دائري

إذا $x=3\sec t,y=4\tan t$ ، فـ $x^2/9=\sec^2 t,y^2/16=\tan^2 t$ .
باستخدام $\sec^2 t-\tan^2 t=1$ نحصل على $x^2/9-y^2/16=1$ .
يشترط $\cos t\ne0$ ؛ العلامة السالبة تحدد الزائد لا الناقص.

تدريبات متدرجة: عناصر، رسم، وانتماء

الأعداد العربية والكسور البسيطة مثل 4/3 مقبولة. الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى إذا كانت خاطئة.

التدريب 1

أطبق فكرة الموقف على الأرقام التالية الصورة تقرب الموقف؛ الرسم المجاور يحدد القياس والمحاور بدقة.

في $x^2/9-y^2/16=1$ ، احسب c.

التدريب 2

في $x^2/9-y^2/16=1$ ، احسب ميل خط التقارب الموجب.

التدريب 3

في $y^2/9-x^2/16=1$ ، احسب ميل خط التقارب الموجب.

التدريب 4

إذا c=5 وa=3، احسب b.

التدريب 5

من الرسم: الرأس $(3,0)$ والبؤرتان $(5,0),(-5,0)$ ؛ احسب الفرق المطلق للمسافتين عند الرأس.

التدريب 6

في $x^2/9-y^2/16=1$ ، أدخل 1 إذا $(0,4)$ على القطع وإلا 0.

التدريب 7

إذا a=3 وc=5، احسب الاختلاف المركزي e.

التدريب 8

إذا طول المحور الحقيقي 8 والاختلاف المركزي 5/4، احسب c.

أراجع بكلماتي

ما الذي يبقى ثابتًا في تعريف هذا القطع؟ كيف تحدد الاتجاه؟ صف موضع البؤرة، ثم تحقق من نقطة بالتعويض بدل تخمين الرسم.

رياضيات الصف الحادي عشر