العلمي · الفصل الثاني · الوحدة السادسة

القطع الناقص

مسماران وخيط ثابت الطول وقلم: كيف نرسم إطارًا بيضاويًا للحديقة؟ نتتبع القلم ثم نفهم لماذا يبقى مجموع المسافتين ثابتًا.

من الموقف إلى النموذج

1 · نثبت نقطتين على لوح ونضع خيطًا حولهما. الصورة تقرب الموقف؛ الرسم المجاور يحدد القياس والمحاور بدقة.

2 · نشد الخيط بالقلم ونغيّر مكان القلم، مع إبقاء النقطتين ثابتتين. الصورة تقرب الموقف؛ الرسم المجاور يحدد القياس والمحاور بدقة.

3 · نلاحظ المسار المغلق؛ النموذج الرياضي يستخدم مجموع المسافتين إلى البؤرتين. الصورة تقرب الموقف؛ الرسم المجاور يحدد القياس والمحاور بدقة.

الأزرق هو القطع، الأحمر بؤرة، الذهبي رأس. الأخضر دليل المكافئ أو خطا تقارب الزائد. كل مربع وحدة واحدة؛ العرض مقطع مستوٍ دقيق.

أتوقع ثم أغيّر

إذا نقلنا المركز أو الرأس وحدتين إلى اليمين، ماذا يحدث للبؤرة؟ اختر توقعك ثم غيّر الإزاحة الأفقية إلى 2.

التجربة متاحة بعد التوقعالإزاحة الأفقية: 0الإزاحة الرأسية: 0نصف المحور a: 5نصف المحور b: 3

V/C = (0, 0) · a = 5, b = 3, c = 4.000 · F = (4.00, 0.00) / (-4.00, 0.00)

لماذا لا تتغير المسافات داخل القطع عند نقله فقط؟

أفهم الرموز والعلاقات

القطع الناقص مجموعة نقاط تحقق $PF_1+PF_2=2a$ . المركز $(h,k)$ ، و $a\ge b>0$ .

إذا كان المحور الأكبر أفقيا: $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ . إذا كان رأسيا نتبادل x وy.

العلاقة $c^2=a^2-b^2$ تحدد بعد كل بؤرة عن المركز. طولا المحورين $2a,2b$ ؛ المقام ليس طول المحور.

الرأسان على المحور الأكبر، وطرفا المحور الأصغر على الاتجاه الآخر. عندما $a=b$ يصبح القطع دائرة وتتطابق البؤرتان.

الاختلاف المركزي $e=c/a$ ، وفي الناقص $0\le e<1$ ؛ الحالة $e=0$ دائرة. البعد بين البؤرتين $2c$ . كلما اقترب e من صفر اقترب الشكل من دائرة.

أمثلة محلولة مع تفسير الخطوات

١ · إطار حديقة أفقي

نربط المعطيات بالتجربة، ثم نحسب الصورة تقرب الموقف؛ الرسم المجاور يحدد القياس والمحاور بدقة.

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ ؛ إذن $a=5,b=3$ .
$c=\sqrt{25-9}=4$ ، البؤرتان $(\pm4,0)$ والرأسان $(\pm5,0)$ .
المحور الأكبر طوله $10$ والأصغر $6$ ؛ مجموع المسافتين إلى البؤرتين $10$ .

٢ · محور أكبر رأسي ومركز منتقل

$\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{25}=1$ ؛ المركز $(2,-1)$ .
المقام الأكبر تحت y، لذا الرأسان $(2,4),(2,-6)$ .
$c=4$ ؛ البؤرتان $(2,3),(2,-5)$ ، وطرفا الأصغر $(5,-1),(-1,-1)$ .

٣ · أجد المعادلة من العناصر

المركز الأصل، البؤرتان $(\pm3,0)$ والرأسان $(\pm5,0)$ ؛ $c=3,a=5$ .
$b^2=a^2-c^2=25-9=16$ ، إذن $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ .
عند $(0,4)$ نحصل على $0+16/16=1$ ؛ النقطة طرف المحور الأصغر.

٤ · معادلة عامة واختلاف مركزي

$9x^2+25y^2=225$ ؛ نقسم جميع الحدود على 225.
$x^2/25+y^2/9=1$ ، فنجد $a=5,b=3,c=4$ .
الاختلاف المركزي $e=c/a=4/5$ ، والبعد البؤري الكامل $2c=8$ .

٥ · أبني المعادلة من نقطتين

قطع ناقص أفقي مركزه الأصل يمر بـ $(3,2)$ و $(0,5/2)$ . من الثانية $b^2=25/4$ .
بالتعويض بالأولى: $9/a^2+4/(25/4)=1$ ، أي $9/a^2=9/25$ ؛ إذن $a^2=25$ .
المعادلة $x^2/25+4y^2/25=1$ . نتحقق: $9/25+16/25=1$ .

٦ · إطار بيضاوي وإزالة وسيط

لإطار نصف محوره الأكبر 5 والأصغر 3، نكتب $x=5\cos t,y=3\sin t$ .
نربع ونقسم: $x^2/25=\cos^2 t$ و $y^2/9=\sin^2 t$ .
نجمع باستخدام $\cos^2 t+\sin^2 t=1$ ؛ نحصل على معادلة الناقص.

تدريبات متدرجة: عناصر، رسم، وانتماء

الأعداد العربية والكسور البسيطة مثل 4/3 مقبولة. الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى إذا كانت خاطئة.

التدريب 1

أطبق فكرة الموقف على الأرقام التالية الصورة تقرب الموقف؛ الرسم المجاور يحدد القياس والمحاور بدقة.

في $x^2/25+y^2/9=1$ ، احسب طول المحور الأكبر.

التدريب 2

في $x^2/25+y^2/9=1$ ، احسب c.

التدريب 3

في $(x-2)^2/9+(y+1)^2/25=1$ ، ما إحداثي الرأس الأعلى الرأسي؟

التدريب 4

إذا a=5 وc=3، احسب b.

التدريب 5

من الرسم بؤرتان $(4,0),(-4,0)$ ورأس $(5,0)$ ؛ احسب مجموع المسافتين من أي نقطة على القطع إلى البؤرتين.

التدريب 6

في $x^2/25+y^2/9=1$ ، أدخل 1 إذا $(0,3)$ على القطع وإلا 0.

التدريب 7

إذا a=5 وc=4، احسب الاختلاف المركزي e.

التدريب 8

إطار حديقة نصفه الأعلى $x^2/25+y^2/9=1$ ؛ احسب الارتفاع y عند x=0.

أراجع بكلماتي

ما الذي يبقى ثابتًا في تعريف هذا القطع؟ كيف تحدد الاتجاه؟ صف موضع البؤرة، ثم تحقق من نقطة بالتعويض بدل تخمين الرسم.

رياضيات الصف الحادي عشر