من الموقف إلى النموذج

1 · نلاحظ الطبق والمستقبل. الصورة جسم ثلاثي الأبعاد؛ سنتعلم مقطعًا مستويًا منه.

2 · نقيس المسافة بين الرأس والبؤرة. لا نستنتج القياس من منظور الصورة.

3 · ننقل الفكرة إلى ورقة: نقطة تبعد عن البؤرة مثل بعدها العمودي عن الدليل.

الأزرق هو القطع، الأحمر بؤرة، الذهبي رأس. الأخضر دليل المكافئ أو خطا تقارب الزائد. كل مربع وحدة واحدة؛ العرض مقطع مستوٍ دقيق.

أتوقع ثم أغيّر

إذا نقلنا المركز أو الرأس وحدتين إلى اليمين، ماذا يحدث للبؤرة؟ اختر توقعك ثم غيّر الإزاحة الأفقية إلى 2.

V/C = (0, 0) · p = 2 · F = (2.00, 0.00)

لماذا لا تتغير المسافات داخل القطع عند نقله فقط؟

أفهم الرموز والعلاقات

الرأس $V=(h,k)$ رأس القطع، نقطة تقاطع القطع مع محور تماثله، والبؤرة $F$ نقطة ثابتة، والدليل خط ثابت. المسافة إلى الخط تؤخذ عموديا.

إذا كان المحور أفقيا: $(y-k)^2=4p(x-h)$ والبؤرة $(h+p,k)$ والدليل $x=h-p$.

إذا كان المحور رأسيا: $(x-h)^2=4p(y-k)$ والبؤرة $(h,k+p)$ والدليل $y=k-p$.

المعامل $p\ne0$ بإشارته يحدد الاتجاه: الموجب يمينا أو أعلى، والسالب يسارا أو أسفل. طول الوتر البؤري $4|p|$.

الاختلاف المركزي للمكافئ $e=1$؛ لأن المسافة إلى البؤرة تساوي المسافة العمودية إلى الدليل.

أمثلة محلولة مع تفسير الخطوات

١ · من المعادلة إلى عناصر القطع

نربط المعطيات بالتجربة، ثم نحسب

1. $y^2=8x$؛ نقارن $8=4p$ فنحصل على $p=2$.
2. الرأس $(0,0)$ والبؤرة $(2,0)$ والدليل $x=-2$؛ الفتحة يمينا لأن $p>0$.
3. عند $x=2$ نجد $y=\pm4$؛ إذن طول الوتر البؤري $8$.

٢ · رأس منتقل وفتحة إلى أسفل

نربط المعطيات بالتجربة، ثم نحسب

1. $(x-1)^2=-8(y+2)$؛ هنا $h=1,k=-2,p=-2$.
2. البؤرة $(1,-4)$ والدليل $y=0$؛ نضيف $p$ إلى إحداثي الرأس الرأسي.
3. للنقطة $(5,-4)$: $(5-1)^2=16$ و$-8(-4+2)=16$ فتقع على القطع.

٣ · أبني المعادلة من البؤرة والدليل

نربط المعطيات بالتجربة، ثم نحسب

1. البؤرة $(3,1)$ والدليل $x=-1$. الرأس منتصف المسافة العمودية: $(1,1)$.
2. $p=3-1=2$، إذن $(y-1)^2=8(x-1)$.
3. للنقطة $(3,5)$ المسافة إلى البؤرة $4$ والمسافة إلى الدليل $4$؛ تحقق التعريف.

٤ · أحذف الوسيط وأحدد المحل الهندسي

نربط المعطيات بالتجربة، ثم نحسب

1. إذا $x=3t$ و$y=t^2$، فإن $t=x/3$.
2. نعوض: $y=x^2/9$، إذن $x^2=9y$؛ قطع مكافئ رأسي إلى أعلى.
3. $4p=9$، فتكون البؤرة $(0,9/4)$ والدليل $y=-9/4$.

تدريبات متدرجة: عناصر، رسم، وانتماء

الأعداد العربية والكسور البسيطة مثل 4/3 مقبولة. الحل يفتح بعد محاولة عددية صالحة، حتى إذا كانت خاطئة.

التدريب 1

أطبق فكرة الموقف على الأرقام التالية

في $y^2=12x$، احسب $p$.

جوابيافحص جوابي

تلميحالحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 2

أطبق فكرة الموقف على الأرقام التالية

في $x^2=-8y$، ما إحداثي البؤرة الرأسي؟

جوابيافحص جوابي

تلميحالحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 3

أطبق فكرة الموقف على الأرقام التالية

في $(y-2)^2=8(x-1)$، ما قيمة x في معادلة الدليل؟

جوابيافحص جوابي

تلميحالحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 4

أطبق فكرة الموقف على الأرقام التالية

في $y^2=8x$، إذا $x=2$ و$y>0$، احسب y.

جوابيافحص جوابي

تلميحالحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 5

أطبق فكرة الموقف على الأرقام التالية

من الرسم: الرأس $(0,0)$ والبؤرة $(2,0)$؛ احسب المسافة من النقطة $(2,4)$ إلى الدليل.

جوابيافحص جوابي

تلميحالحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 6

أطبق فكرة الموقف على الأرقام التالية

في $y^2=8x$، أدخل 1 إذا كانت $(2,3)$ على القطع و0 إن لم تكن.

جوابيافحص جوابي

تلميحالحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

أراجع بكلماتي

ما الذي يبقى ثابتًا في تعريف هذا القطع؟ كيف تحدد الاتجاه؟ صف موضع البؤرة، ثم تحقق من نقطة بالتعويض بدل تخمين الرسم.