الصف11 · العلمي · المنطق الرياضي

الجملة المفتوحة: اختَر x والمجال قبل الحكم

قولنا «التفاحة x خضراء» لا يحسم شيئًا حتى نعرف أي تفاحة اخترنا. بنفس الفكرة، العدد المجهول يحتاج قيمة ومجالًا.

ثلاث صور، وثلاث ملاحظات

x تفاحة نختارها من هذه السلة — بعد اختيار تفاحة نستطيع الحكم على لونها. قبل الاختيار، P(x) جملة مفتوحة.

اختيار x يغيّر الحكم — في السلة نفسها اختيار الخضراء يحقق الشرط، واختيار الحمراء لا يحققه. لا نخلط العبارة عن عنصر مع العبارة عن الجميع.

المجال جزء من السؤال — إذا كان المجال هذه التفاحات الثلاث الحمراء، فلا تفاحة تحقق الخضرة. تغيير المجال إلى سلة أخرى قد يغيّر مجموعة الحل.

أتوقع وأجرب الحالات

هل الجملة x+2=5 صادقة لكل x؟

اختبر الأعداد0 و1 و2 و3 و4 و5. لاحظ أي قيمة تحقق المساواة، واجمع القيم الصحيحة في مجموعة الحل.

0 + 2 = 5

قيمة الطرف الأيسر: 2 · الطرف الأيمن:5

لا يساوي5؛ هذه قيمة من مجموعة التعويض لكنها لا تدخل في مجموعة الحل.

القيم الصحيحة التي لاحظتها: لم تعثر على قيمة صحيحة بعد

قارنت 0 من 6 حالات

ليش لا نعطي x+2=5 حكما ثابتا قبل التعويض؟

الرموز تصف ما لاحظناه

الجملة المفتوحة تعتمد على متغير، وتصبح عبارة بعد تعويض قيمة محددة أو إضافة سور مناسب.

مجموعة التعويض هنا $D=\{0,1,2,3,4,5\}$ .

مجموعة الحل تضم قيم D التي تجعل الجملة صحيحة: هنا $S=\{3\}$ .

لو لم تتضمن D العدد3 لكانت مجموعة الحل فارغة، رغم أن حل المعادلة في الأعداد الحقيقية هو3.

طالب قال إن مجموعة الحل هي كل قيم مجموعة التعويض. ما الخلل؟

ثلاثة أمثلة، مع سبب كل خطوة

نحل داخل مجال محدد

$D=\{1,2,3,4,5\},\quad P(x):x+1=4$
لا نبحث عن قيمة خارج المجال.
$x=3$
نطرح1 من الطرفين ونفحص3+1=4.
$S=\{3\}$
مجموعة الحل تحتوي القيمة التي تحقق الجملة وتنتمي إلى D.

قد تختفي الحلول بسبب المجال

$D=\{0,1,2\},\quad x+1=4$
الجملة نفسها لكن المجال تغيّر.
$x=3\notin D$
الحل الجبري لا ينتمي للمجال المعطى.
$S=\varnothing$
ليس للسؤال حل داخل D، دون تغيير الحساب الجبري.

جملة لها أكثر من قيمة

$D=\{-2,-1,0,1,2\},\quad x^2=1$
نبحث عن كل الحلول لا واحدة فقط.
$(-1)^2=1,\quad1^2=1$
القيمتان تحققان الجملة.
$S=\{-1,1\}$
بقية قيم المجال لا تحققها؛ لا نرفض−1 لمجرد أنه سالب.

خمسة تدريبات لفهم الحكم والسبب

اقرأ الخيارات كاملة، ثم حاول. عند الخطأ راجع المجال والشرط؛ لا تحفظ مكان الخيار.

التدريب 1

في مجموعة التعويض {1،2،3،4،5}، ما قيمة x التي تحقق x+3=7؟

الخيار 1: $4$
الخيار 2: $0$
الخيار 3: $1$
الخيار 4: $2$

التدريب 2

ليش لا نعطي x+2=5 حكما ثابتا قبل التعويض؟

الخيار 1: لأن كل معادلة خاطئة قبل حلها
الخيار 2: بعض القيم تحققها وبعضها لا يحققها
الخيار 3: لأن الحروف لا تصلح في الرياضيات

التدريب 3

ماذا تمثل

S=\{3\}

هنا؟

الخيار 1: جميع القيم المسموح بتجربتها
الخيار 2: مجموع قيم مجموعة التعويض
الخيار 3: القيمة من مجموعة التعويض التي تجعل الجملة صحيحة

التدريب 4

طالب قال إن مجموعة الحل هي كل قيم مجموعة التعويض. ما الخلل؟

الخيار 1: يجب الاحتفاظ فقط بالقيم التي تحقق الجملة
الخيار 2: لا حاجة لفحص المساواة
الخيار 3: كل عدد حقيقي موجود في أي مجموعة تعويض

التدريب 5

كيف تحققت من4؟

الخيار 1: لأن4 أكبر عدد في المجموعة
الخيار 2: 4 موجودة في المجموعة و4+3=7
الخيار 3: لأن كل قيمة من المجموعة تحقق المعادلة

أشرح الفكرة بكلماتي

قيمة المتغير تحدد قيمة صواب الجملة؛ لا يكفي أن يكون شكلها مساواة.

دروس المنطق الرياضي

الصف11 · العلمي · المنطق الرياضي

الجملة المفتوحة: اختَر x والمجال قبل الحكم

قولنا «التفاحة x خضراء» لا يحسم شيئًا حتى نعرف أي تفاحة اخترنا. بنفس الفكرة، العدد المجهول يحتاج قيمة ومجالًا.

ثلاث صور، وثلاث ملاحظات

أتوقع وأجرب الحالات

هل الجملة x+2=5 صادقة لكل x؟

اختبر الأعداد0 و1 و2 و3 و4 و5. لاحظ أي قيمة تحقق المساواة، واجمع القيم الصحيحة في مجموعة الحل.

0 + 2 = 5

قيمة الطرف الأيسر: 2 · الطرف الأيمن:5

لا يساوي5؛ هذه قيمة من مجموعة التعويض لكنها لا تدخل في مجموعة الحل.

القيم الصحيحة التي لاحظتها: لم تعثر على قيمة صحيحة بعد

قارنت 0 من 6 حالات

ليش لا نعطي x+2=5 حكما ثابتا قبل التعويض؟

الرموز تصف ما لاحظناه

الجملة المفتوحة تعتمد على متغير، وتصبح عبارة بعد تعويض قيمة محددة أو إضافة سور مناسب.

مجموعة التعويض هنا $D=\{0,1,2,3,4,5\}$ .

مجموعة الحل تضم قيم D التي تجعل الجملة صحيحة: هنا $S=\{3\}$ .

لو لم تتضمن D العدد3 لكانت مجموعة الحل فارغة، رغم أن حل المعادلة في الأعداد الحقيقية هو3.

طالب قال إن مجموعة الحل هي كل قيم مجموعة التعويض. ما الخلل؟

ثلاثة أمثلة، مع سبب كل خطوة

نحل داخل مجال محدد

$D=\{1,2,3,4,5\},\quad P(x):x+1=4$
لا نبحث عن قيمة خارج المجال.
$x=3$
نطرح1 من الطرفين ونفحص3+1=4.
$S=\{3\}$
مجموعة الحل تحتوي القيمة التي تحقق الجملة وتنتمي إلى D.

قد تختفي الحلول بسبب المجال

$D=\{0,1,2\},\quad x+1=4$
الجملة نفسها لكن المجال تغيّر.
$x=3\notin D$
الحل الجبري لا ينتمي للمجال المعطى.
$S=\varnothing$
ليس للسؤال حل داخل D، دون تغيير الحساب الجبري.

جملة لها أكثر من قيمة

$D=\{-2,-1,0,1,2\},\quad x^2=1$
نبحث عن كل الحلول لا واحدة فقط.
$(-1)^2=1,\quad1^2=1$
القيمتان تحققان الجملة.
$S=\{-1,1\}$
بقية قيم المجال لا تحققها؛ لا نرفض−1 لمجرد أنه سالب.

خمسة تدريبات لفهم الحكم والسبب

اقرأ الخيارات كاملة، ثم حاول. عند الخطأ راجع المجال والشرط؛ لا تحفظ مكان الخيار.

التدريب 1

في مجموعة التعويض {1،2،3،4،5}، ما قيمة x التي تحقق x+3=7؟

الخيار 1: $4$
الخيار 2: $0$
الخيار 3: $1$
الخيار 4: $2$

التدريب 2

ليش لا نعطي x+2=5 حكما ثابتا قبل التعويض؟

الخيار 1: لأن كل معادلة خاطئة قبل حلها
الخيار 2: بعض القيم تحققها وبعضها لا يحققها
الخيار 3: لأن الحروف لا تصلح في الرياضيات

التدريب 3

ماذا تمثل

S=\{3\}

هنا؟

الخيار 1: جميع القيم المسموح بتجربتها
الخيار 2: مجموع قيم مجموعة التعويض
الخيار 3: القيمة من مجموعة التعويض التي تجعل الجملة صحيحة

التدريب 4

طالب قال إن مجموعة الحل هي كل قيم مجموعة التعويض. ما الخلل؟

الخيار 1: يجب الاحتفاظ فقط بالقيم التي تحقق الجملة
الخيار 2: لا حاجة لفحص المساواة
الخيار 3: كل عدد حقيقي موجود في أي مجموعة تعويض

التدريب 5

كيف تحققت من4؟

الخيار 1: لأن4 أكبر عدد في المجموعة
الخيار 2: 4 موجودة في المجموعة و4+3=7
الخيار 3: لأن كل قيمة من المجموعة تحقق المعادلة

أشرح الفكرة بكلماتي

قيمة المتغير تحدد قيمة صواب الجملة؛ لا يكفي أن يكون شكلها مساواة.