دروس المنطق الرياضيالصف11 · العلمي · المنطق الرياضي
كل ويوجد: الفرق بين تعميم وشاهد
«كل التفاح أخضر» تطلب فحص الجميع. «يوجد تفاح أخضر» تحتاج شاهدًا واحدًا. نثبت المجال قبل الحكم.
أتوقع وأجرب الحالات
هل وجود عدد زوجي واحد يثبت أن كل الأعداد في المجموعة زوجية؟
قارن {2،4،6} و{1،2،3} و{1،3،5}. افحص كل عنصر، ثم قارن حكم «كل» وحكم «يوجد».
2: زوجي4: زوجي6: زوجي
كل العناصر زوجية: صادقة
يوجد عنصر زوجي: صادقة
المجال هنا هو العناصر المعروضة فقط. تغيير المجموعة قد يغير الحكم.
قارنت 0 من 3 حالات
ليش يوجد زوجي صادقة في {1،2،3} وكلها زوجية خاطئة؟
الرموز تصف ما لاحظناه
∀x∈D:P(x) يعني أن كل عنصر في D يحقق الشرط.
∃x∈D:P(x) يحتاج شاهدا واحدا على الأقل في D.
مثال مضاد واحد يجعل العبارة الكلية خاطئة. شاهد واحد يجعل العبارة الوجودية صادقة.
ذكر المجال أساسي؛ «كل الأعداد زوجية» لا يساوي «كل عناصر {2،4،6} زوجية».
طالب جرب عنصرا واحدا زوجيا وأثبت «كل العناصر زوجية». ما الذي أهمله؟
ثلاثة أمثلة، مع سبب كل خطوة
مجموعة زوجية بالكامل
الصورة تقرّب الفكرة؛ المثال يستخدم المعطيات التالية
D={2,4,6}, · P(x):x زوجي
- D={2,4,6}, · P(x):x زوجي
نثبت المجال ووصف P.
- ∀x∈D:P(x)=T
فحصنا العناصر الثلاثة وكلها زوجية.
- ∃x∈D:P(x)=T
2 شاهد كافٍ؛ لا نشترط أن يكون الشاهد وحيدًا.
شاهد لا يثبت التعميم
الصورة تقرّب الفكرة؛ المثال يستخدم المعطيات التالية
D={1,2,3} - D={1,2,3}
مجال مختلط في الزوجية.
- P(2)=T⇒∃x∈D:P(x)
2 يثبت الوجود.
- P(1)=F⇒¬∀x∈D:P(x)
1 يكفي لنقض التعميم؛ الوجود والتعميم حكمهما مختلف هنا.
ترتيب المسوّرات يغيّر المعنى
الصورة تقرّب الفكرة؛ المثال يستخدم المعطيات التالية
∀x∈R ∃y∈R: y>x - ∀x∈R ∃y∈R: y>x
لكل x يمكن اختيار y مختلفًا.
- y=x+1
هذا شاهد يعتمد على x ويثبت العبارة الأولى.
- ∃y ∀x: y>xfalse
لا عدد حقيقي واحد أكبر من كل الحقيقيات؛ اختر x=y+1 لنقضها.
خمسة تدريبات لفهم الحكم والسبب
اقرأ الخيارات كاملة، ثم حاول. عند الخطأ راجع المجال والشرط؛ لا تحفظ مكان الخيار.
التدريب 1
أستخدم الفكرة مع سؤال جديد؛ أنظر إلى المعطيات
في {2،4،6}، كم عنصرا يصلح شاهدا على «يوجد عنصر أكبر من5»؟
في {2،4،6}، كم عنصرا يصلح شاهدا على «يوجد عنصر أكبر من5»؟
- الخيار 1: 1
- الخيار 2: 0
- الخيار 3: 2
- الخيار 4: 3
التدريب 2
أستخدم الفكرة مع سؤال جديد؛ أنظر إلى المعطيات
ليش يوجد زوجي صادقة في {1،2،3} وكلها زوجية خاطئة؟
ليش يوجد زوجي صادقة في {1،2،3} وكلها زوجية خاطئة؟
- الخيار 1: لأن يوجد تعني كل دائما
- الخيار 2: 2 شاهد للصواب الوجودي و1 مثال مضاد للكلي
- الخيار 3: لأن2 يجعل بقية العناصر زوجية
التدريب 3
أستخدم الفكرة مع سؤال جديد؛ أنظر إلى المعطيات
أي سور يعني وجود عنصر واحد على الأقل؟
أي سور يعني وجود عنصر واحد على الأقل؟
- الخيار 1: ⇒
- الخيار 2: ∀
- الخيار 3: ∃
التدريب 4
أستخدم الفكرة مع سؤال جديد؛ أنظر إلى المعطيات
طالب جرب عنصرا واحدا زوجيا وأثبت «كل العناصر زوجية». ما الذي أهمله؟
طالب جرب عنصرا واحدا زوجيا وأثبت «كل العناصر زوجية». ما الذي أهمله؟
- الخيار 1: قد يوجد عنصر آخر فردي ينقض الادعاء الكلي
- الخيار 2: أن جميع الأعداد الزوجية موجبة
- الخيار 3: أننا يجب أن نجمع العناصر
التدريب 5
أستخدم الفكرة مع سؤال جديد؛ أنظر إلى المعطيات
ما الشاهد الذي يثبت الوجود؟
ما الشاهد الذي يثبت الوجود؟
- الخيار 1: لأن6 هو عدد عناصر المجموعة
- الخيار 2: 6 أكبر من5 وموجود داخل المجموعة
- الخيار 3: لأن كل العناصر أكبر من5
أشرح الفكرة بكلماتي
وجود عنصر صحيح لا يلغي العناصر المخالفة للشرط الكلي.
