الصف11 · العلمي · المنطق الرياضي

نفي المسوّرات: لا كل، ليست كل لا

تفاحة حمراء واحدة تنقض «كل التفاح أخضر». لكنها لا تقول إن كل التفاح أحمر. النفي يبدّل المسوّر وينفي الصفة مع الحفاظ على المجال.

ثلاث صور، وثلاث ملاحظات

كلها خضراء؛ النفي خاطئ — لا شاهد مخالف بين هذه الثلاث. نفي التعميم الكلي خاطئ.

واحدة مخالفة تكفي — الحمراء شاهد مخالف. الخضراء لا تختفي، ولذلك «كلها غير خضراء» ليست النفي الصحيح.

نفي الوجود يطلب فشل الجميع — لا توجد خضراء بين الثلاث؛ كل واحدة تفشل في شرط الخضرة.

أتوقع وأجرب الحالات

ما نفي «كل العناصر زوجية»؟

قارن المجموعات الثلاث. راقب نفي «كل» إلى جانب «يوجد غير»، ونفي «يوجد» إلى جانب «كل غير».

2: زوجي4: زوجي6: زوجي

نفي «كل زوجية»: خاطئة

«يوجد غير زوجي»: خاطئة

نفي «يوجد زوجي»: خاطئة

«كل غير زوجية»: خاطئة

المجال هنا هو العناصر المعروضة فقط. تغيير المجموعة قد يغير الحكم.

قارنت 0 من 3 حالات

ليش نفي «كل» يحتاج يوجد عنصر مخالف؟

الرموز تصف ما لاحظناه

$\neg(\forall x\in D:P(x))\equiv\exists x\in D:\neg P(x)$ .

$\neg(\exists x\in D:P(x))\equiv\forall x\in D:\neg P(x)$ .

نقلب السور وننفي الشرط مع إبقاء المجال نفسه؛ تغيير المجال يغير الجملة.

نفي «بعض الأعداد أكبر من3» هو «كلها ليست أكبر من3»، أي أقل من أو تساوي3 داخل المجال.

طالب نفى «كل العناصر زوجية» بعبارة «كلها فردية». لماذا هذا أقوى من المطلوب؟

ثلاثة أمثلة، مع سبب كل خطوة

ننفي عبارة كلية

$\forall x\in D:x>0$
الادعاء أن كل عنصر موجب.
$\neg(\forall x\in D:x>0)\equiv\exists x\in D:x\le0$
نبدل كل إلى يوجد وننفي أكبر من شاملين المساواة.
$D=\{-1,2,3\}:\quad x=-1$
−1 شاهد على النفي؛ لا يعني أن العناصر كلها غير موجبة.

ننفي عبارة وجودية

$\exists x\in D:x^2=4$
يوجد عنصر مربعه4.
$\neg(\exists x\in D:x^2=4)\equiv\forall x\in D:x^2\ne4$
نبدل يوجد إلى كل وننفي المساواة.
$D=\{0,1,3\}$
مربعاتها0 و1 و9؛ النفي صادق في هذا المجال.

نفي أكثر من مسوّر

$\forall x\ \exists y:\ y>x$
لكل x يوجد y أكبر منه.
$\neg\forall x\exists y:P(x,y)\equiv\exists x\forall y:\neg P(x,y)$
ننفي المسوّرات بالترتيب نفسه ونبدل كل واحدة.
$\exists x\ \forall y:\ y\le x$
هذا نفي العبارة، وهو خاطئ على الحقيقيات؛ لا يوجد أكبر عدد حقيقي.

خمسة تدريبات لفهم الحكم والسبب

اقرأ الخيارات كاملة، ثم حاول. عند الخطأ راجع المجال والشرط؛ لا تحفظ مكان الخيار.

التدريب 1

في {2،4،7}، كم عنصرا يشهد على نفي «كل العناصر زوجية»؟

الخيار 1: $1$
الخيار 2: $0$
الخيار 3: $2$
الخيار 4: $3$

التدريب 2

ليش نفي «كل» يحتاج يوجد عنصر مخالف؟

الخيار 1: يجب أن يخالف الجميع الشرط
الخيار 2: عنصر مخالف واحد يكفي لإسقاط حكم يشمل الجميع
الخيار 3: يجب تغيير مجموعة التعويض

التدريب 3

أي عبارة تنفي وجود عنصر زوجي؟

الخيار 1: كل عناصر المجال زوجية
الخيار 2: يوجد عنصر غير زوجي فقط
الخيار 3: كل عناصر المجال غير زوجية

التدريب 4

طالب نفى «كل العناصر زوجية» بعبارة «كلها فردية». لماذا هذا أقوى من المطلوب؟

الخيار 1: المجموعة المختلطة تنقض كل زوجية دون أن تكون كلها فردية
الخيار 2: لأن النفي لا ينطبق على مجموعات مختلطة
الخيار 3: كلها فردية هو النفي نفسه تماما

التدريب 5

لماذا يكفي7 لنفي كل زوجية؟

الخيار 1: لأن7 خارج المجموعة
الخيار 2: 7 غير زوجي ومنتمي إلى المجال نفسه
الخيار 3: لأن2 و4 لا يمكن أن يكونا زوجيين

أشرح الفكرة بكلماتي

هذا لا يفرض أن كل العناصر مخالفة؛ قد يجتمع الصحيح والمخالف في المجموعة.

دروس المنطق الرياضي

الصف11 · العلمي · المنطق الرياضي

نفي المسوّرات: لا كل، ليست كل لا

ثلاث صور، وثلاث ملاحظات

أتوقع وأجرب الحالات

ما نفي «كل العناصر زوجية»؟

قارن المجموعات الثلاث. راقب نفي «كل» إلى جانب «يوجد غير»، ونفي «يوجد» إلى جانب «كل غير».

2: زوجي4: زوجي6: زوجي

نفي «كل زوجية»: خاطئة

«يوجد غير زوجي»: خاطئة

نفي «يوجد زوجي»: خاطئة

«كل غير زوجية»: خاطئة

المجال هنا هو العناصر المعروضة فقط. تغيير المجموعة قد يغير الحكم.

قارنت 0 من 3 حالات

ليش نفي «كل» يحتاج يوجد عنصر مخالف؟

الرموز تصف ما لاحظناه

$\neg(\forall x\in D:P(x))\equiv\exists x\in D:\neg P(x)$ .

$\neg(\exists x\in D:P(x))\equiv\forall x\in D:\neg P(x)$ .

نقلب السور وننفي الشرط مع إبقاء المجال نفسه؛ تغيير المجال يغير الجملة.

نفي «بعض الأعداد أكبر من3» هو «كلها ليست أكبر من3»، أي أقل من أو تساوي3 داخل المجال.

طالب نفى «كل العناصر زوجية» بعبارة «كلها فردية». لماذا هذا أقوى من المطلوب؟

ثلاثة أمثلة، مع سبب كل خطوة

ننفي عبارة كلية

$\forall x\in D:x>0$
الادعاء أن كل عنصر موجب.
$\neg(\forall x\in D:x>0)\equiv\exists x\in D:x\le0$
نبدل كل إلى يوجد وننفي أكبر من شاملين المساواة.
$D=\{-1,2,3\}:\quad x=-1$
−1 شاهد على النفي؛ لا يعني أن العناصر كلها غير موجبة.

ننفي عبارة وجودية

$\exists x\in D:x^2=4$
يوجد عنصر مربعه4.
$\neg(\exists x\in D:x^2=4)\equiv\forall x\in D:x^2\ne4$
نبدل يوجد إلى كل وننفي المساواة.
$D=\{0,1,3\}$
مربعاتها0 و1 و9؛ النفي صادق في هذا المجال.

نفي أكثر من مسوّر

$\forall x\ \exists y:\ y>x$
لكل x يوجد y أكبر منه.
$\neg\forall x\exists y:P(x,y)\equiv\exists x\forall y:\neg P(x,y)$
ننفي المسوّرات بالترتيب نفسه ونبدل كل واحدة.
$\exists x\ \forall y:\ y\le x$
هذا نفي العبارة، وهو خاطئ على الحقيقيات؛ لا يوجد أكبر عدد حقيقي.

خمسة تدريبات لفهم الحكم والسبب

اقرأ الخيارات كاملة، ثم حاول. عند الخطأ راجع المجال والشرط؛ لا تحفظ مكان الخيار.

التدريب 1

في {2،4،7}، كم عنصرا يشهد على نفي «كل العناصر زوجية»؟

الخيار 1: $1$
الخيار 2: $0$
الخيار 3: $2$
الخيار 4: $3$

التدريب 2

ليش نفي «كل» يحتاج يوجد عنصر مخالف؟

الخيار 1: يجب أن يخالف الجميع الشرط
الخيار 2: عنصر مخالف واحد يكفي لإسقاط حكم يشمل الجميع
الخيار 3: يجب تغيير مجموعة التعويض

التدريب 3

أي عبارة تنفي وجود عنصر زوجي؟

الخيار 1: كل عناصر المجال زوجية
الخيار 2: يوجد عنصر غير زوجي فقط
الخيار 3: كل عناصر المجال غير زوجية

التدريب 4

طالب نفى «كل العناصر زوجية» بعبارة «كلها فردية». لماذا هذا أقوى من المطلوب؟

الخيار 1: المجموعة المختلطة تنقض كل زوجية دون أن تكون كلها فردية
الخيار 2: لأن النفي لا ينطبق على مجموعات مختلطة
الخيار 3: كلها فردية هو النفي نفسه تماما

التدريب 5

لماذا يكفي7 لنفي كل زوجية؟

الخيار 1: لأن7 خارج المجموعة
الخيار 2: 7 غير زوجي ومنتمي إلى المجال نفسه
الخيار 3: لأن2 و4 لا يمكن أن يكونا زوجيين

أشرح الفكرة بكلماتي

هذا لا يفرض أن كل العناصر مخالفة؛ قد يجتمع الصحيح والمخالف في المجموعة.