الصف11 · العلمي · المنطق الرياضي

البرهان: من التجربة إلى دليل عام

صور السلة تساعدنا نلاحظ: مثال صحيح يثبت حالة فقط، ومثال مخالف ينقض التعميم. لإثبات قاعدة لكل الأعداد، نحتاج تعريفًا وحجة تشمل الجميع.

ثلاث صور، وثلاث ملاحظات

المشاهدة تثبت هذه السلة فقط — كل التفاح هنا أخضر، لكن لا نستنتج أن كل التفاح في العالم أخضر.

نراجع سبب كل خطوة — فحص وصلات الجسر تشبيه لمراجعة ترابط الخطوات، وليس برهانًا رياضيًا من صورة. البرهان الفعلي في الأمثلة التالية.

المثال المضاد ينقض الكل — تفاحة حمراء تنقض ادعاء الجميع أخضر داخل المجال. لا نحتاج أن تكون كل التفاحات حمراء.

أتوقع وأجرب الحالات

هل نجاح ثلاثة أمثلة يثبت قاعدة لكل الأعداد الصحيحة؟

اقرأ البطاقات الثلاث: أمثلة ناجحة، وبرهان عام للزوجية، ومثال مضاد لادعاء عن الأعداد الفردية. قارن ما يثبته كل نوع.

أمثلة تساعد على التوقع

2+2=4 و4+2=6 و6+2=8. أمثلة ناجحة، لكنها وحدها لا تثبت النتيجة لجميع الأعداد الزوجية.

قارنت 0 من 3 حالات

ليش 2k+2=2(k+1) حجة عامة؟

الرموز تصف ما لاحظناه

البرهان يبدأ من الفرضيات ويستخدم تعريفات ونتائج صحيحة للوصول إلى المطلوب.

إذا كان n زوجيا فهناك عدد صحيح k بحيث $n=2k$ . إذن $n+2=2(k+1)$ زوجي لأن k+1 صحيح.

الأمثلة تساعد على التوقع لكنها لا تثبت ادعاء على مجال لا نهائي.

المثال المضاد ينقض عبارة كلية؛ لا يلزمنا فحص جميع الأعداد لنقضها.

في البرهان غير المباشر نفترض نفي المطلوب ونصل إلى تناقض صحيح مع المعطيات. لا يجوز افتراض المطلوب نفسه.

طالب أثبت المطلوب بأن بدأ بقول «المطلوب صحيح». ما الخلل؟

ثلاثة أمثلة، مع سبب كل خطوة

برهان مباشر: الزوجي زائد2 زوجي

$n=2k,\quad k\in\mathbb Z$
هذه كتابة أي عدد زوجي بالتعريف؛ لم نختر مثالًا خاصًا.
$n+2=2k+2=2(k+1)$
نخرج العامل2.
$k+1\in\mathbb Z$
لذلك الناتج زوجي. الحجة تشمل كل الأعداد الزوجية.

برهان بالمعاكس الإيجابي

n² زوجي ⇒ n زوجي
بدل افتراض النتيجة، نثبت: إذا n غير زوجي فمربعه غير زوجي.
$n=2k+1\Rightarrow n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$
أي عدد فردي مربعه فردي.
$\neg q\to\neg p\equiv p\to q$
ثبت المعاكس الإيجابي، فثبت الأصل؛ ليس هذا إثبات العكس.

برهان بالتناقض: لا أكبر عدد صحيح

نفترض وجود أكبر عدد صحيح N
نفترض نفي المطلوب، لا المطلوب نفسه.
$N+1\in\mathbb Z,\quad N+1>N$
عدد صحيح آخر أكبر منه.
تناقض ⇒ لا أكبر عدد صحيح
تناقض مع وصف N بأنه الأكبر؛ لذلك الافتراض غير صحيح.

خمسة تدريبات لفهم الحكم والسبب

اقرأ الخيارات كاملة، ثم حاول. عند الخطأ راجع المجال والشرط؛ لا تحفظ مكان الخيار.

التدريب 1

ادعاء «كل عدد فردي أكبر من1 عدد أولي». من3 و5 و9، اكتب مثالا مضادا.

الخيار 1: $9$
الخيار 2: $0$
الخيار 3: $1$
الخيار 4: $2$

التدريب 2

ليش 2k+2=2(k+1) حجة عامة؟

الخيار 1: لأن k ثابت يساوي1 فقط
الخيار 2: k يمثل أي عدد صحيح فلا تقتصر الحجة على الأمثلة المختارة
الخيار 3: لأن تجربتين تكفيان بدل ثلاث

التدريب 3

ماذا يعني n=2k مع k عددا صحيحا؟

الخيار 1: n فردي بحسب التعريف
الخيار 2: n أي عدد حقيقي مهما كان k
الخيار 3: n عدد زوجي بحسب التعريف

التدريب 4

طالب أثبت المطلوب بأن بدأ بقول «المطلوب صحيح». ما الخلل؟

الخيار 1: افترض النتيجة بدل استنتاجها من الفرضيات
الخيار 2: استخدام النتيجة نفسها برهان صحيح
الخيار 3: يكفي تغيير أسماء الرموز

التدريب 5

لماذا9 ينقض الادعاء؟

الخيار 1: 3 مثال مضاد لأنه أولي
الخيار 2: 9 فردي وأكبر من1 لكنه9=3×3 وليس أوليا
الخيار 3: 9 أولي لأنه فردي

أشرح الفكرة بكلماتي

تعريف الزوجي والعامل2 يغطيان جميع الأعداد الزوجية في المجال.

دروس المنطق الرياضي

الصف11 · العلمي · المنطق الرياضي

البرهان: من التجربة إلى دليل عام

ثلاث صور، وثلاث ملاحظات

أتوقع وأجرب الحالات

هل نجاح ثلاثة أمثلة يثبت قاعدة لكل الأعداد الصحيحة؟

أمثلة تساعد على التوقع

2+2=4 و4+2=6 و6+2=8. أمثلة ناجحة، لكنها وحدها لا تثبت النتيجة لجميع الأعداد الزوجية.

قارنت 0 من 3 حالات

ليش 2k+2=2(k+1) حجة عامة؟

الرموز تصف ما لاحظناه

البرهان يبدأ من الفرضيات ويستخدم تعريفات ونتائج صحيحة للوصول إلى المطلوب.

إذا كان n زوجيا فهناك عدد صحيح k بحيث $n=2k$ . إذن $n+2=2(k+1)$ زوجي لأن k+1 صحيح.

الأمثلة تساعد على التوقع لكنها لا تثبت ادعاء على مجال لا نهائي.

المثال المضاد ينقض عبارة كلية؛ لا يلزمنا فحص جميع الأعداد لنقضها.

في البرهان غير المباشر نفترض نفي المطلوب ونصل إلى تناقض صحيح مع المعطيات. لا يجوز افتراض المطلوب نفسه.

طالب أثبت المطلوب بأن بدأ بقول «المطلوب صحيح». ما الخلل؟

ثلاثة أمثلة، مع سبب كل خطوة

برهان مباشر: الزوجي زائد2 زوجي

$n=2k,\quad k\in\mathbb Z$
هذه كتابة أي عدد زوجي بالتعريف؛ لم نختر مثالًا خاصًا.
$n+2=2k+2=2(k+1)$
نخرج العامل2.
$k+1\in\mathbb Z$
لذلك الناتج زوجي. الحجة تشمل كل الأعداد الزوجية.

برهان بالمعاكس الإيجابي

n² زوجي ⇒ n زوجي
بدل افتراض النتيجة، نثبت: إذا n غير زوجي فمربعه غير زوجي.
$n=2k+1\Rightarrow n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$
أي عدد فردي مربعه فردي.
$\neg q\to\neg p\equiv p\to q$
ثبت المعاكس الإيجابي، فثبت الأصل؛ ليس هذا إثبات العكس.

برهان بالتناقض: لا أكبر عدد صحيح

نفترض وجود أكبر عدد صحيح N
نفترض نفي المطلوب، لا المطلوب نفسه.
$N+1\in\mathbb Z,\quad N+1>N$
عدد صحيح آخر أكبر منه.
تناقض ⇒ لا أكبر عدد صحيح
تناقض مع وصف N بأنه الأكبر؛ لذلك الافتراض غير صحيح.

خمسة تدريبات لفهم الحكم والسبب

اقرأ الخيارات كاملة، ثم حاول. عند الخطأ راجع المجال والشرط؛ لا تحفظ مكان الخيار.

التدريب 1

ادعاء «كل عدد فردي أكبر من1 عدد أولي». من3 و5 و9، اكتب مثالا مضادا.

الخيار 1: $9$
الخيار 2: $0$
الخيار 3: $1$
الخيار 4: $2$

التدريب 2

ليش 2k+2=2(k+1) حجة عامة؟

الخيار 1: لأن k ثابت يساوي1 فقط
الخيار 2: k يمثل أي عدد صحيح فلا تقتصر الحجة على الأمثلة المختارة
الخيار 3: لأن تجربتين تكفيان بدل ثلاث

التدريب 3

ماذا يعني n=2k مع k عددا صحيحا؟

الخيار 1: n فردي بحسب التعريف
الخيار 2: n أي عدد حقيقي مهما كان k
الخيار 3: n عدد زوجي بحسب التعريف

التدريب 4

طالب أثبت المطلوب بأن بدأ بقول «المطلوب صحيح». ما الخلل؟

الخيار 1: افترض النتيجة بدل استنتاجها من الفرضيات
الخيار 2: استخدام النتيجة نفسها برهان صحيح
الخيار 3: يكفي تغيير أسماء الرموز

التدريب 5

لماذا9 ينقض الادعاء؟

الخيار 1: 3 مثال مضاد لأنه أولي
الخيار 2: 9 فردي وأكبر من1 لكنه9=3×3 وليس أوليا
الخيار 3: 9 أولي لأنه فردي

أشرح الفكرة بكلماتي

تعريف الزوجي والعامل2 يغطيان جميع الأعداد الزوجية في المجال.