الصف11 · العلمي · الدرس 6

الأرض والعمود والحبل: علاقات في الفراغ

الأرض تمثل مستوى، والعمود والحبل يمثلان أجزاء من مستقيمات. الالتقاء نقطة مشتركة؛ التعامد شرط أقوى. ما بنحكم من شكل الإسقاط وحده.

الموقف خطوة خطوة

الأرض مستوى والعمود رأسي — الأرض تمتد في اتجاهين والعمود في اتجاه رأسي. الصورة تمثل أجزاء فقط؛ المستقيم والمستوى في الرياضيات ممتدان.الصورة تقرّب الموقف؛ المعطيات والرسم الرياضي يحددان القياس الدقيق. الأصول محفوظة دون كتابة لإعادة استخدامها.

الحبل المائل يلتقي الأرض — وجود نقطة التقاء لا يجعل الحبل عموديًا على الأرض. نحتاج فحص اتجاهه وشروط التعامد.الصورة تقرّب الموقف؛ المعطيات والرسم الرياضي يحددان القياس الدقيق. الأصول محفوظة دون كتابة لإعادة استخدامها.

خط رأسي آخر خارج الأرض — يمكن لخط رأسي أن يعامد المستوى، لكنه لا يقع فيه. نميّز التعامد من الاحتواء والتوازي.الصورة تقرّب الموقف؛ المعطيات والرسم الرياضي يحددان القياس الدقيق. الأصول محفوظة دون كتابة لإعادة استخدامها.

أتوقع، ثم أغيّر وأقارن

هل كل مستقيم يلتقي مستوى يكون عموديًا عليه؟

قارن الحالات الأربع، ثم ارجع للمستقيم الموازي فوق الأرض. افحص الارتفاع والاتجاه بدل الحكم من الصورة وحدها.

الرسم إسقاط للفراغ على الشاشة؛ لا نقيس زواياه من الصورة. السطح الملون يمثل جزءًا من مستوى ممتد.

نقطة على الخط (0, 0, 2)

اتجاهه (1, 0, 0)

موازٍ: لا يتقاطع مع z=0

القطعة المرسومة جزء من مستقيم ممتد، والسطح الملون جزء من مستوى ممتد. لا نحكم على الزوايا من إسقاط الشاشة وحده.

ليش المائل الذي يلتقي الأرض ليس بالضرورة عموديا عليها؟

الرموز بعد فهم الموقف

نقطتان مختلفتان تحددان مستقيما واحدا؛ وثلاث نقاط غير واقعة على مستقيم واحد تحدد مستوى واحدا.

المستقيم قد يقع في المستوى، أو يلتقيه بنقطة، أو يكون موازيا له دون تقاطع.

في نموذج z=0، اتجاه رأسي غير صفري يكون عموديا على المستوى. اتجاه أفقي فوقه يبقى موازيا.

مستقيمان في الفراغ قد يكونان متخالفين: لا يتقاطعان ولا يتوازيان ولا يقعان في مستوى واحد. الرسم المسطح لا يحسم ذلك وحده.

ثلاثة أمثلة مع تفسير الخطوات

خط فوق الأرض لا يصلها

$P=(0,0,2),\ d=(1,0,0)$
كل حركة فيه أفقية؛ الارتفاع ثابت2.
$z(t)=2$
لا يوجد t يجعل الارتفاع0.
$L\parallel\pi,\quad\pi:z=0$
موازٍ دون تقاطع؛ إذا كان ارتفاع البداية0 يقع الخط في الأرض بدلًا من ذلك.

تقاطع مائل: نحل الارتفاع أولًا

$P=(0,1,3),\ d=(1,0,-1)$
في كل وحدةt يزدادx بوحدة وينقصz بوحدة.
$z=3-t=0\Rightarrow t=3$
الوصول إلى الأرض يطلب ارتفاعًا صفرًا.
$P+3d=(3,1,0)$
التقاطع هنا مائل؛ اتجاهه له جزء أفقي ورأسي.

نفس المستوى شرط مهم

$L_1:(t,0,0),\quad L_2:(0,s,1)$
الأول في الأرض والثاني فوقها.
$z_1=0\ne z_2=1$
لا يلتقيان، واتجاههما ليس متوازيًا.
$L_1,L_2\text{ are skew}$
هما متخالفان؛ لا يوجد مستوى واحد يحتويهما. الرسم المسطح قد يوهم بالتقاطع.

خمسة تدريبات متدرجة

استخدم العلاقة بدل تخمين شكل الرسم. حاول قبل فتح الحل، ثم فسّر السبب؛ الأرقام العربية والعشرية والكسور مثل 2/3 مقبولة.

التدريب 1

خط يبدأ بارتفاع6 وينقص ارتفاعه2 لكل وحدة من المعامل t. متى يصل إلى z=0؟

التدريب 2

أي شرط يصف نقاط مستوى الأرض في نموذج z هو الارتفاع؟

التدريب 3

كم مستوى تحدده ثلاث نقاط غير واقعة على مستقيم واحد؟

التدريب 4

مستقيمان لا يتقاطعان ولا يتوازيان ولا يقعان في مستوى واحد. ماذا نسميهما؟

التدريب 5

اتجاه مستقيم غير صفري هو

(0,0,1)

. ما علاقته بالمستوى

z=0

أراجع بكلماتي

نفرق بين خط داخل المستوى، وخط موازٍ له، وخط يلتقيه مائلًا أو عموديًا. مستقيمان قد يكونان متخالفين في الفراغ.

دروس المتجهات والهندسة الفراغية