أتوقع، ثم أغيّر وأقارن

إذا كان خط داخل الأرض عموديًا على AC، هل يكون عموديًا على BC المائل أيضًا؟

قارن خطًا أرضيًا عموديًا على المسقط، وخطًا أرضيًا غير عمودي، وخطًا رأسيًا خارج المستوى. ثم أعد الخط الأرضي العمودي.

ليش شرط وجود الخط داخل مستوى الأرض مهم؟

الرموز بعد فهم الموقف

هنا $A=(0,0,0)$ و$B=(0,0,4)$ و$C=(3,0,0)$. المتجه المائل $BC=(3,0,-4)$ ومسقطه $AC=(3,0,0)$.

للخط الأرضي اتجاه $d=(0,1,0)$؛ هو عمودي على AC، ونجد $d\cdot BC=0$ أيضا.

إذا خرجنا إلى اتجاه رأسي $(0,0,1)$ يبقى النقطي مع AC صفرا، لكنه مع BC يساوي−4؛ انكسرت فرضية المستوى.

نظرية الأعمدة الثلاثة تربط العمود على المستوى، والمسقط الأرضي، والخط الذي يمر بنقطة التقاء المائل مع المستوى ويعامد المسقط داخل ذلك المستوى.

ثلاثة أمثلة مع تفسير الخطوات

نثبت التعامد بالحساب

الصورة توضح الفكرة؛ نتبع أرقام المثال التالي

$A=(0,0,0),\ B=(0,0,4),\ C=(3,0,0)$

1. $A=(0,0,0),\ B=(0,0,4),\ C=(3,0,0)$

   العمود AB رأسي، والحبل من B إلى C.

2. $AC=(3,0,0),\ BC=(3,0,-4),\ d=(0,1,0)$

   الخطd أرضي ويمر عبرC.

3. $d\cdot AC=0,\quad d\cdot BC=0$

   تحققت شروط النظرية ونتيجتها. الصور لا تكفي وحدها لإثبات الزاوية.

خط أرضي لكن ليس عموديًا على المسقط

الصورة توضح الفكرة؛ نتبع أرقام المثال التالي

$d=(1,1,0)$

1. $d=(1,1,0)$

   ما زال داخل الأرض.

2. $d\cdot AC=3$

   النقطي ليس0؛ شرط تعامد المسقط غير متحقق.

3. $d\cdot BC=3$

   لا تعامد مع الحبل أيضًا؛ الوجود في الأرض وحده لا يكفي.

خارج الأرض: مثال مضاد

الصورة توضح الفكرة؛ نتبع أرقام المثال التالي

$d=(0,0,1)$

1. $d=(0,0,1)$

   هذا خط رأسي عبرC.

2. $d\cdot AC=0$

   هو عمودي على المسقط الأفقي.

3. $d\cdot BC=-4\ne0$

   لا يعامد الحبل. هذا يبيّن ضرورة شرط وجوده في المستوى.

خمسة تدريبات متدرجة

استخدم العلاقة بدل تخمين شكل الرسم. حاول قبل فتح الحل، ثم فسّر السبب؛ الأرقام العربية والعشرية والكسور مثل 2/3 مقبولة.

التدريب 1

أستخدم فكرة الصورة مع معطيات هذا التدريب

ما $(0,1,0)\cdot(3,0,-4)$؟

ما $(0,1,0)\cdot(3,0,-4)$؟

جوابيافحص جوابي

أحتاج تلميحًاأقرأ الحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 2

أستخدم فكرة الصورة مع معطيات هذا التدريب

خط داخل z=0 يمر بنهاية المائل ويعامد مسقطه غير الصفري. ما الزاوية بينه وبين المائل وفق النظرية؟

خط داخل z=0 يمر بنهاية المائل ويعامد مسقطه غير الصفري. ما الزاوية بينه وبين المائل وفق النظرية؟

جوابيافحص جوابي

أحتاج تلميحًاأقرأ الحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 3

أستخدم فكرة الصورة مع معطيات هذا التدريب

ما $(0,0,1)\cdot(3,0,-4)$؟

ما $(0,0,1)\cdot(3,0,-4)$؟

جوابيافحص جوابي

أحتاج تلميحًاأقرأ الحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 4

أستخدم فكرة الصورة مع معطيات هذا التدريب

أي فرضية أساسية في تطبيق نظرية الأعمدة الثلاثة هنا؟

أي فرضية أساسية في تطبيق نظرية الأعمدة الثلاثة هنا؟

جوابيأختار بعد التفكيركل الأطوال متساويةكل الإحداثيات موجبةالرسم يبدو قائمًا على الشاشةالخط المطلوب داخل المستوى ويعامد المسقطافحص جوابي

أحتاج تلميحًاأقرأ الحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 5

أستخدم فكرة الصورة مع معطيات هذا التدريب

ما طول المسقط الأرضي للمتجه $(5,0,-12)$ على z=0؟

ما طول المسقط الأرضي للمتجه $(5,0,-12)$ على z=0؟

جوابيافحص جوابي

أحتاج تلميحًاأقرأ الحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

أراجع بكلماتي

نتعرف على العمود والمائل والمسقط. الخط المطلوب يمر بنهاية المائل داخل المستوى ويعامد المسقط؛ بعد تحقق الشروط نستنتج تعامده مع المائل.