حرّك النقطة: نضمن شرطًا ونفحص الثاني

قارن x=1 وx=−1. الموقع يتغير، لكن مربع العدد يبقى 1. ثم جرّب 0 و2: وجود النقطة على الأزرق وحده لا يكفي.

هسا نفهم كيف وصلنا للحلين

1. 1 · نأخذ الشرط الثاني معنا

   $y=x^2$

   نقطة الحل لازم تكون على المنحنى، لذلك y ليست رقمًا نختاره بحرية.

2. 2 · نعوّض التعبير كاملًا

   $x^2+(x^2)^2=2$

   مكان y في معادلة الدائرة نكتب x². تربيع x² يعطي x⁴.

3. 3 · نسمّي المربع مؤقتًا

   $t=x^2\ge0\quad\Rightarrow\quad t^2+t-2=0$

   الحرف t اسم مؤقت للمربع نفسه. شرطه غير سالب؛ x نفسه ممكن يكون سالبًا.

4. 4 · نحل ونراجع المعنى

   $(t+2)(t-1)=0\quad\Rightarrow\quad t=-2\ \text{or}\ t=1$

   نرفض t=−2 لأنه مربع عدد حقيقي. يبقى t=1، أي x²=1.

5. 5 · نرجع إلى x ثم y

   $x=1\ \text{or}\ x=-1,\quad y=1$

   الموجب والسالب يعطيان المربع نفسه. الحلان (1،1) و(−1،1)، وليس أربعة؛ y هنا يساوي x²، فيبقى 1.

قصة رياضية جديدة: هل دائمًا حلّان؟

هذه المرة لدينا دائرة وشرط يسمح بارتفاعين:

الشرط y²=1 يعني y=1 أو y=−1. على كل ارتفاع نبحث عن قيم x التي تحقق الدائرة.

الفكرة التي نأخذها معنا

نعوّض شرطًا في الآخر، ونراجع معنى المتغير المؤقت، ثم نرجع إلى x وy ونفحص كل الأزواج في الأصل. لا نرفض x السالب لمجرد إشارته، ولا نقبل مربعًا سالبًا في الأعداد الحقيقية. عدد الحلول يعتمد على المعادلات.