1. إذا ل(أ) = 3/8 فإن ل(أ′)
- 3/8
- 5/8
- 1/8
- 8/3
تحقق من الحل بعد المحاولة
5/8
1 − 3/8 = 5/8.
الاحتمالات
قوانين الاحتمالات
ماذا سنتعلم؟
- حساب احتمال المتممة
- استخدام قانون الاتحاد مع مراعاة التقاطع
- تمييز الحوادث المنفصلة
سؤال من الحياة
نعرف فرصة سحب كرة حمراء من كيس. كيف نجد فرصة سحب كرة ليست حمراء؟
صوت مولّد آليًا
لا يحدث الحادث
الحادث ومتممته يقسمان فضاء العينة دون اشتراك؛ ل(أ′) = 1 − ل(أ). فإذا كان احتمال الأحمر 2/7 فاحتمال غير الأحمر 5/7.
صوت مولّد آليًا
أو تعني الاتحاد
ل(أ ∪ ب) = ل(أ) + ل(ب) − ل(أ ∩ ب). نطرح المشترك كي لا نحسبه مرتين. إذا كان الحادثان منفصلين فاحتمال تقاطعهما صفر، ويكفي جمع الاحتمالين.
صوت مولّد آليًا
اكتشف الخطأ
على النرد، الزوجي أ = {2، 4، 6} والأكبر من 3 ب = {4، 5، 6}. جمع 1/2 و1/2 يعطي 1 خطأ للاتحاد؛ المشتركان 4 و6، فالاحتمال الصحيح 4/6 = 2/3.
صوت مولّد آليًا
القاعدة
ل(المتممة) = 1 − ل(الحادث). ل(الاتحاد) = مجموع الاحتمالين − احتمال التقاطع؛ وللمنفصلين يكون التقاطع صفرا.
صور من الحياة
مثال محلول 1
احتمال نجاح تجربة 0.8. ما احتمال عدم النجاح، إذا كانت الحالتان تستنفدان كل النتائج؟
- عدم النجاح متممة النجاح.
- 1 − 0.8 = 0.2.
- المجموع 0.8 + 0.2 = 1.
الناتج: 0.2
مثال محلول 2
نرد متوازن: أ عدد زوجي وب أكبر من 3. أوجد احتمال أ أو ب.
- أ ∪ ب = {2، 4، 5، 6}.
- أ ∩ ب = {4، 6}.
- 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3.
الناتج: 2/3
جرّب بنفسك
2. حادثان منفصلان احتمالهما 1/4 و1/3؛ احتمال اتحادهما
- 7/12
- 1/7
- 1/12
- 2/7
تحقق من الحل بعد المحاولة
7/12
نجمع 3/12 + 4/12.
3. في قانون الاتحاد نطرح احتمال التقاطع لأن
- الاحتمالات لا تجمع
- التقاطع مستحيل دائما
- الاتحاد أصغر دائما من كل حادث
- المشترك حسب مرتين
تحقق من الحل بعد المحاولة
المشترك حسب مرتين
نزيل العد المزدوج للمشترك.
4. على النرد، حادث الفردي وحادث الزوجي
- متساويان كمجموعتين
- متداخلان
- مستحيلان
- منفصلان واتحادهما مؤكد
تحقق من الحل بعد المحاولة
منفصلان واتحادهما مؤكد
لا نتيجة مشتركة ويغطيان النتائج الست.
5. احتمال متممة الحادث المؤكد
- 1
- غير معروف
- 1/2
- 0
تحقق من الحل بعد المحاولة
0
متممته مستحيلة.
6. ل(أ)=0.4 ول(ب)=0.5 ول(أ∩ب)=0.2. ل(أ∪ب)
- 0.9
- 0.7
- 1.1
- 0.2
تحقق من الحل بعد المحاولة
0.7
0.4 + 0.5 − 0.2 = 0.7.
7. إذا كان أ وب منفصلين فإن ل(أ∩ب)
- 0
- 1
- 1/2
- ل(أ)+ل(ب)
تحقق من الحل بعد المحاولة
0
لا نواتج مشتركة.
8. احتمال ظهور 1 أو 6 على نرد متوازن
- 1/6
- 1/2
- 2/3
- 1/3
تحقق من الحل بعد المحاولة
1/3
حادثان منفصلان، مجموعهما 2/6.
إذا واجهتك صعوبة
ارسم دائرتي الحادثين أو اسرد نواتجهما قبل جمع الاحتمالات، وحدد المشترك بوضوح.
تطبيق جديد
في نرد متوازن اختر حادثين متداخلين وحادثين منفصلين، واحسب الاتحاد في الحالتين مع تفسير الفرق.