أمامنا ثلاث سلال، في كل سلة ثلاث تفاحات: الأولى كلها خضراء، والثانية فيها حمراء واحدة، والثالثة كلها حمراء. يختار نموذج الدراسة السلال باحتمالات 1/4 و1/2 و1/4؛ هذه احتمالات معطاة وليست مستنتجة من الصورة. X عدد التفاحات الحمراء في السلة المختارة.
الموقف خطوة خطوة
السلة الأولى: لا تفاح أحمر
X=0,P(X=0)=1/4
في الصورة ثلاث خضراء. نعد الأحمر فقط؛ احتمال اختيار هذه السلة معطى في النموذج.الصورة توضح الموقف؛ الأعداد والاحتمالات والقياسات يحددها النموذج التعليمي، وليست قراءة من الصورة.
السلة الثانية: حمراء واحدة
X=1,P(X=1)=1/2
نرى خضراءين وحمراء واحدة. ثلاث تفاحات إجمالًا، لكن قيمة المتغير عدد الحمراء:1.الصورة توضح الموقف؛ الأعداد والاحتمالات والقياسات يحددها النموذج التعليمي، وليست قراءة من الصورة.
السلة الثالثة: ثلاث حمراء
X=3,P(X=3)=1/4;E(X)=1.25
المتوسط الموزون 0×1/4+1×1/2+3×1/4=1.25. لا سلة مفردة تعطي1.25 تفاحة حمراء؛ التوقع متوسط طويل المدى.الصورة توضح الموقف؛ الأعداد والاحتمالات والقياسات يحددها النموذج التعليمي، وليست قراءة من الصورة.
أجرب وأقارن
X عدد الأحمر في السلة:0 أو1 أو3. الاحتمالات معطيات للنموذج، وليست من شكل الصورة. أتوقع: هل يجب أن يكون التوقع عددًا يظهر في سلة واحدة؟
احتمال الحمراء الواحدة ثابت0.5؛ احتمال صفر حمراء=0.5 ناقص الاحتمال الذي تختاره، ليبقى المجموع1.
E(X)=0×0.25+1×0.50+3×0.25=1.25. السلة المفردة تعطي0 أو1 أو3 حمراء؛ التوقع متوسط نظري.
أفهم المعنى والرموز
التوقع E(X)=∑xP(X=x) متوسط موزون.
نتحقق من صلاحية التوزيع قبل استخدامه. قد لا يكون التوقع قيمة ممكنة للمتغير.
في الربح الصافي نطرح التكلفة؛ الجائزة وحدها تختلف عن الربح.
ثلاثة أمثلة مع أسباب الخطوات
متوسط موزون
متوسط موزون
X=1 باحتمال 0.25 وX=3 باحتمال 0.75.
الصورة توضح الموقف؛ الأعداد والاحتمالات والقياسات يحددها النموذج التعليمي، وليست قراءة من الصورة.
X=1 باحتمال 0.25 وX=3 باحتمال 0.75.
ليست القيم متساوية الوزن.
E(X)=1(0.25)+3(0.75)=2.5
نضرب كل قيمة في احتمالها ثم نجمع.
التوقع بين 1 و3 ويميل إلى 3.
هذه مراجعة معقولة لأن 3 أكثر احتمالًا.
جائزة وصافي
جائزة وصافي
جائزة 10 باحتمال 0.2 وإلا صفر؛ التكلفة 3.
الصورة توضح الموقف؛ الأعداد والاحتمالات والقياسات يحددها النموذج التعليمي، وليست قراءة من الصورة.
جائزة 10 باحتمال 0.2 وإلا صفر؛ التكلفة 3.
نحسب الجائزة أولًا ونرمز لها G؛ نرمز لصافي الربح R.
E(G)=10(0.2)=2
الصفر لا يضيف إلى المجموع.
E(R)=2−3=−1
خسارة متوقعة وحدة واحدة، لا خسارة مؤكدة في كل تجربة.
من التوقع إلى المجموع
من التوقع إلى المجموع
متوسط صندوق 1.5 قطعة، و100 صندوق بنفس النموذج.
الصورة توضح الموقف؛ الأعداد والاحتمالات والقياسات يحددها النموذج التعليمي، وليست قراءة من الصورة.
متوسط صندوق 1.5 قطعة، و100 صندوق بنفس النموذج.
التوقع لكل صندوق 1.5.
E(S)=100(1.5)=150
نرمز للمجموع S؛ توقع المجموع هو مجموع التوقعات.
المجموع الفعلي قد يختلف عن 150.
التوقع ليس ضمانًا للنتيجة المفردة أو للمجموع.
خمسة تدريبات متدرجة
أدخل عددًا بالعربية أو الإنجليزية أو كسرًا مثل 1/2. الحل يفتح بعد محاولة عددية؛ تعديل الجواب وإعادة المحاولة يعيدان قفل الحل.
التدريب 1
أطبق الفكرة على معطيات التدريب
X=0 أو2 باحتمال نصف لكل منهما. ما E(X)؟
الصورة توضح الموقف؛ الأعداد والاحتمالات والقياسات يحددها النموذج التعليمي، وليست قراءة من الصورة.
التدريب 2
أطبق الفكرة على معطيات التدريب
X=1 باحتمال 0.4 وX=4 باحتمال 0.6. ما التوقع؟
الصورة توضح الموقف؛ الأعداد والاحتمالات والقياسات يحددها النموذج التعليمي، وليست قراءة من الصورة.
التدريب 3
أطبق الفكرة على معطيات التدريب
جائزة 20 باحتمال 0.1 وإلا صفر. ما توقع الجائزة؟
الصورة توضح الموقف؛ الأعداد والاحتمالات والقياسات يحددها النموذج التعليمي، وليست قراءة من الصورة.
التدريب 4
أطبق الفكرة على معطيات التدريب
توقع الجائزة 2 والتكلفة 5. ما توقع الصافي؟
الصورة توضح الموقف؛ الأعداد والاحتمالات والقياسات يحددها النموذج التعليمي، وليست قراءة من الصورة.
التدريب 5
أطبق الفكرة على معطيات التدريب
توقع كل صندوق 1.2 قطعة. ما توقع مجموع 50 صندوقا؟
الصورة توضح الموقف؛ الأعداد والاحتمالات والقياسات يحددها النموذج التعليمي، وليست قراءة من الصورة.
أراجع بكلماتي
ما المتغير؟ ما شروط النموذج؟ ما معنى النتيجة ووحدتها؟ أي افتراض يغير جوابك لو تغير؟
السلة الأولى: لا تفاح أحمر
السلة الثانية: حمراء واحدة
السلة الثالثة: ثلاث حمراء