أتوقع، ثم أغيّر وأقارن

إذا كانت الحركة الثانية جانبية تمامًا، ماذا يكون الضرب النقطي؟

قارن الحالات النقطية الخمس: نفس الاتجاه، تعامد، عكس الاتجاه، زاوية حادة، والمتجه الصفري. ثم جرّب الضرب الاتجاهي بالترتيبين، وأعد حالة التعامد النقطي.

ليش يجب التمييز بين الضرب النقطي والاتجاهي؟

الرموز بعد فهم الموقف

الضرب النقطي $\vec v\cdot\vec w=v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z=|v||w|\cos\theta$؛ ناتجه عدد.

لمتجهين غير صفريين، إذا كان النقطي صفرا فهما متعامدان. مع المتجه الصفري لا توجد زاوية محددة.

الضرب الاتجاهي $\vec v\times\vec w$ متجه عمودي على الاثنين، وطوله $|v||w|\sin\theta$. نحدد اتجاهه بقاعدة اليد اليمنى.

هنا $(2,0,0)\times(0,3,0)=(0,0,6)$، وعكس الترتيب يعطي $(0,0,-6)$. طول الناتج يمثل مساحة متوازي الأضلاع، ونصفه مساحة المثلث.

زوايا الاتجاه مع المحاور تحقق $\cos\alpha=\frac{v_x}{|v|}$ وبالمثل y وz؛ مجموع مربعات جيوب تمامها1.

ثلاثة أمثلة مع تفسير الخطوات

النقطي: ثلاث مساهمات بإشاراتها

الصورة توضح الفكرة؛ نتبع أرقام المثال التالي

$v=(1,2,2),\ w=(2,1,-2)$

1. $v=(1,2,2),\ w=(2,1,-2)$

   ناتج هذه العملية عدد.

2. $v\cdot w=1(2)+2(1)+2(-2)=0$

   المنتج الثالث سالب؛ لا نحذف الإشارة.

3. $v,w\ne0\Rightarrow\theta=90^\circ$

   صفر النقطي يثبت التعامد بين غير الصفريين. مع الصفر لا توجد زاوية محددة.

الاتجاهي والترتيب والمساحة

الصورة توضح الفكرة؛ نتبع أرقام المثال التالي

$v=(2,0,0),\ w=(0,3,0)$

1. $v=(2,0,0),\ w=(0,3,0)$

   اتجاهان متعامدان في المستوى xy.

2. $v\times w=(0,0,6),\quad w\times v=(0,0,-6)$

   قاعدة اليد اليمنى تحدد الجهة؛ تبديل الترتيب يعكس الناتج.

3. $A_{\rm parallelogram}=6,\quad A_{\rm triangle}=3$

   طول الاتجاهي يمثل مساحة متوازي الأضلاع؛ المثلث نصفه.

زوايا الاتجاه: نقسم المركبة على الطول

الصورة توضح الفكرة؛ نتبع أرقام المثال التالي

$v=(2,1,2),\quad |v|=3$

1. $v=(2,1,2),\quad |v|=3$

   زوايا الاتجاه مع المحاور تحتاج متجهًا غير صفري.

2. $\cos\alpha=2/3,\quad \cos\beta=1/3,\quad\cos\gamma=2/3$

   كل محور يستخدم مركبته مقسومة على طول المتجه.

3. $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$

   4/9+1/9+4/9=1؛ هذا فحص معقولية النتائج.

خمسة تدريبات متدرجة

استخدم العلاقة بدل تخمين شكل الرسم. حاول قبل فتح الحل، ثم فسّر السبب؛ الأرقام العربية والعشرية والكسور مثل 2/3 مقبولة.

التدريب 1

أستخدم فكرة الصورة مع معطيات هذا التدريب

ما $(2,0,0)\cdot(3,0,0)$؟

ما $(2,0,0)\cdot(3,0,0)$؟

جوابيافحص جوابي

أحتاج تلميحًاأقرأ الحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 2

أستخدم فكرة الصورة مع معطيات هذا التدريب

ما $(1,2,2)\cdot(2,1,-2)$؟

ما $(1,2,2)\cdot(2,1,-2)$؟

جوابيافحص جوابي

أحتاج تلميحًاأقرأ الحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 3

أستخدم فكرة الصورة مع معطيات هذا التدريب

ما طول $(2,0,0)\times(0,3,0)$؟

ما طول $(2,0,0)\times(0,3,0)$؟

جوابيافحص جوابي

أحتاج تلميحًاأقرأ الحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 4

أستخدم فكرة الصورة مع معطيات هذا التدريب

ما المركبة z في $(0,3,0)\times(2,0,0)$؟

ما المركبة z في $(0,3,0)\times(2,0,0)$؟

جوابيافحص جوابي

أحتاج تلميحًاأقرأ الحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

التدريب 5

أستخدم فكرة الصورة مع معطيات هذا التدريب

ضلعان في متوازي أضلاع يمثلهما $(2,0,0)$ و$(0,3,0)$. ما مساحة المثلث الذي له القاعدة والارتفاع نفسيهما؟

ضلعان في متوازي أضلاع يمثلهما $(2,0,0)$ و$(0,3,0)$. ما مساحة المثلث الذي له القاعدة والارتفاع نفسيهما؟

جوابيافحص جوابي

أحتاج تلميحًاأقرأ الحل خطوة بخطوةمحاولة جديدة

أراجع بكلماتي

النقطي عدد يعتمد على جيب تمام الزاوية؛ الاتجاهي متجه وطوله مساحة يعتمد على جيب الزاوية. ننتبه للصفر ولترتيب الاتجاهي.