ماذا سنتعلم؟

• أتحقق من تساوي نسبتين.
• أستعمل النسب المتكافئة لإيجاد كمية مجهولة.
• أميز بين علاقة تناسب وعلاقة لا تحافظ على النسبة.

الوصفة نفسها لكمية أكبر

لإعداد مشروب، نمزج كوبين من المركز مع⁦6⁩ أكواب ماء. إذا ضاعفنا الكمية، نحتاج⁦4⁩ أكواب مركز و⁦12⁩ كوب ماء. النسبتان ⁦2 : 6⁩ و⁦4 : 12⁩ متساويتان؛ وهذا يسمى تناسبا.

نبحث عن العامل نفسه

للتحقق من ⁦3 : 5⁩ و⁦9 : 15⁩، نلاحظ أن ⁦3 × 3 = 9⁩ و⁦5 × 3 = 15⁩. ضرب الطرفان في⁦3⁩؛ إذن النسبتان متكافئتان وتشكلان تناسبا.

يمكن التحقق بالتبسيط

هل ⁦8 : 12⁩ و⁦10 : 15⁩ تشكلان تناسبا؟ نبسط الأولى بالقسمة على⁦4⁩ فتصبح⁦2 : 3⁩، ونبسط الثانية بالقسمة على⁦5⁩ فتصبح⁦2 : 3⁩ أيضا. إذن نعم.

نجد العدد المجهول

في التناسب ⁦4 : 7 = 12⁩ : □، انتقل⁦4⁩ إلى⁦12⁩ بالضرب في⁦3⁩. نضرب⁦7⁩ في⁦3⁩ أيضا فنحصل على⁦21⁩. نراجع: ⁦12 : 21⁩ تبسط إلى⁦4 : 7⁩.

الضرب التبادلي للتحقق

في ⁦a : b = c : d⁩، يكون ⁦a × d = b × c⁩، عندما يكون الطرفان ⁦b⁩ و⁦d⁩ غير صفر. مثلا: ⁦2 : 3⁩ و⁦8 : 12⁩؛ نجد⁦2 × 12 = 24⁩ و⁦3 × 8 = 24⁩. حاصلا الضرب متساويان.

ليست كل زيادة تناسبا

ثمن تذكرة دخول ثابت⁦5⁩ شواقل، ويضاف شيكلان لكل لعبة. لعبة واحدة تكلف⁦7⁩ شواقل ولعبتان تكلفان⁦9⁩ شواقل. مضاعفة عدد الألعاب لم تضاعف الثمن، فالعلاقة ليست تناسبا. أما الشراء بسعر ثابت للوحدة ومن دون رسوم إضافية فيحافظ على النسبة.

مثال محلول 1

ثمن⁦3⁩ دفاتر متساوية⁦12⁩ شيكلا، ولا توجد رسوم إضافية. ما ثمن⁦5⁩ دفاتر؟

1. نجد ثمن الدفتر الواحد: ⁦12 ÷ 3 = 4⁩ شواقل.
2. ثمن⁦5⁩ دفاتر: ⁦5 × 4 = 20⁩ شيكلا.
3. نراجع ترتيب العدد إلى الثمن: ⁦3 : 12⁩ و⁦5 : 20⁩؛ كلاهما يبسط إلى⁦1 : 4⁩.

الناتج: ⁦20⁩ شيكلا.

مثال محلول 2

في التناسب ⁦6 : 9⁩ = □ : ⁦15⁩، أوجد العدد المجهول.

1. نبسط⁦6 : 9⁩ إلى⁦2 : 3⁩.
2. للوصول من⁦3⁩ إلى⁦15⁩ نضرب في⁦5⁩.
3. نضرب⁦2⁩ في⁦5⁩ فنحصل على⁦10⁩.
4. نراجع بالضرب التبادلي: ⁦6 × 15 = 90⁩ و⁦9 × 10 = 90⁩.

الناتج: العدد المجهول⁦10⁩.