ماذا سنتعلم؟

• حساب حجم هرم
• حساب حجم مخروط ومقارنته بأسطوانة

سؤال من الحياة

لدينا وعاء هرمي وآخر منشوري، ولهما مساحة القاعدة والارتفاع نفسهما. هل يتسعان للكمية نفسها من الرمل؟

نفهم الفكرة

الهرم له قاعدة وأوجه جانبية مثلثة تلتقي عند رأس. حجمه ثلث حجم منشور له مساحة القاعدة والارتفاع نفسيهما: ح=مساحة القاعدة×ع÷⁦3⁩. ع هنا المسافة العمودية من الرأس إلى مستوى القاعدة؛ ليس طول الحافة ولا الارتفاع المائل للوجه.

نحسب ونتحقق

المخروط قاعدته دائرة، لذلك ح=⁦π⁩ر²ع÷⁦3⁩. مخروط ر=⁦3⁩ وع=⁦4⁩ حجمه⁦12π⁩. الأسطوانة التي لها ر وع نفسيهما حجمها⁦36π⁩؛ يمكن ملؤها تقريبا بثلاثة مخاريط مماثلة. إذا ضوعفت الأبعاد الثلاثة فإن الحجم يصير⁦8⁩ أمثال.

نمنع الخطأ الشائع

اكتب عامل⁦1/3⁩ في بداية القانون حتى لا تنساه. إذا ذكر ارتفاع مائل فلا تستعمله للحجم بدل العمودي.

صور من الحياة

مثال محلول 1

هرم قاعدته مربع ضلعه⁦6⁩سم وارتفاعه⁦10⁩سم؛ أوجد حجمه.

1. مساحة القاعدة⁦6²=36⁩.
2. ح=⁦36×10÷3=120⁩.

الناتج: ⁦120⁩سم³

مثال محلول 2

مخروط قطره⁦8⁩سم وارتفاعه⁦9⁩سم؛ أوجد حجمه.

1. نصف القطر⁦4⁩.
2. ح=⁦π×16×9÷3=48π⁩.

الناتج: ⁦48π⁩سم³