ماذا سنتعلم؟

• أرسم مثلثا من أطوال أضلاعه الثلاثة بالمسطرة والفرجار.
• أرسم مثلثا من زاويتين وضلع معلوم، أو ضلعين والزاوية المحصورة بينهما.
• أراجع القياسات، وأعرف أن الزوايا وحدها لا تحدد أطوال أضلاع المثلث.

هل يكفي أن يبدو مثلثا؟

نريد صنع إطار مثلث محدد القياسات. الرسم بالعين وحدها لا يكفي. نحتاج إلى أضلاع مستقيمة وقياسات دقيقة. تذكر أن المثلث قد يكون حاد الزوايا، أو قائم الزاوية، أو منفرج الزاوية.

نختار الأداة

المسطرة لقياس الأطوال ورسم القطع المستقيمة. الفرجار لرسم قوس يبعد كل موضع فيه المسافة نفسها عن مركزه. المنقلة لقياس الزوايا ورسمها. عند القياس بالمسطرة نبدأ من علامة الصفر، لا من حافة الأداة.

إذا عرفت الأضلاع الثلاثة

نرسم أ ب بطول⁦6⁩ سم. نرسم قوسا مركزه أ وفتحة الفرجار⁦4⁩ سم، ثم قوسا مركزه ب وفتحته⁦5⁩ سم. نسمي نقطة تقاطع القوسين ج، ونصل أ بج وب بج. صارت الأطوال أ ب = ⁦6⁩، وأ ج = ⁦4⁩، وب ج = ⁦5⁩ سم.

إذا عرفت زاويتان والضلع بينهما

نرسم أ ب بطول⁦5⁩ سم. من أ نرسم شعاعا يصنع⁦50°⁩ مع أ ب، ومن ب شعاعا يصنع⁦60°⁩ مع ب أ. نرسم الشعاعين في الجهة نفسها من القاعدة، ونسمي تقاطعهما ج. نطابق مركز المنقلة مع رأس الزاوية، وتدريج الصفر مع ضلعها.

إذا عرف ضلعان والزاوية بينهما

نرسم أ ب بطول⁦6⁩ سم. عند أ ننشئ زاوية⁦45°⁩، ثم نحدد ج على شعاعها على بعد⁦4⁩ سم من أ. نصل ج بب. هكذا استعملنا أ ب وأ ج والزاوية عند أ، وهي المحصورة بين الضلعين المعطيين.

انتبه إلى كلمة المحصورة

الضلعان أ ب وأ ج يلتقيان عند أ. لذلك الزاوية المحصورة بينهما هي الزاوية عند أ، لا عند ب. كذلك لا نضع قيمة⁦50°⁩ على التدريج الذي يبدأ من الجهة الأخرى للمنقلة؛ نراجع جهة الصفر أولا.

هل تكفي الزوايا الثلاث؟

يمكن رسم مثلث زواياه⁦60°⁩ و⁦60°⁩ و⁦60°⁩ وطول ضلعه⁦4⁩ سم، وآخر بالزوايا نفسها وطول ضلعه⁦6⁩ سم. الزوايا المتساوية وحدها لا تحدد أطوال الأضلاع. نحتاج إلى قياس ضلع أيضا إذا أردنا مثلثا محدد القياسات.

إذا لم تكن الزاويتان عند طرفي الضلع

قد نعرف أ ب = ⁦6⁩ سم، والزاوية أ = ⁦50°⁩، والزاوية ج = ⁦70°⁩. نحسب الزاوية ب: ⁦180° − 50° − 70° = 60°⁩، ثم نستعمل طريقة الزاويتين عند طرفي أ ب. نستعمل هنا حقيقة أن مجموع زوايا المثلث⁦180°⁩؛ نراجعها في درس خواص المثلث.

مثال محلول 1

ارسم مثلثا أ ب ج، فيه أ ب = ⁦5⁩ سم، وأ ج = ⁦3⁩ سم، وب ج = ⁦4⁩ سم.

1. ارسم أ ب بطول⁦5⁩ سم، وابدأ القياس من الصفر.
2. افتح الفرجار⁦3⁩ سم وارسم قوسا مركزه أ.
3. افتحه⁦4⁩ سم وارسم قوسا مركزه ب في الجهة نفسها.
4. سم التقاطع ج، ثم صل أ بج وب بج.
5. راجع بالمسطرة: الأضلاع⁦5⁩ و⁦3⁩ و⁦4⁩ سم.

الناتج: رسم يحقق أ ب = ⁦5⁩ سم، وأ ج = ⁦3⁩ سم، وب ج = ⁦4⁩ سم؛ لا يكفي رسم مثلث يشبهه بالعين.

مثال محلول 2

ارسم مثلثا قاعدته أ ب = ⁦6⁩ سم، والزاوية عند أ تساوي⁦40°⁩، وعند ب تساوي⁦70°⁩.

1. ارسم القاعدة⁦6⁩ سم.
2. ضع مركز المنقلة عند أ وصفرها في اتجاه أ ب؛ ارسم شعاع⁦40°⁩.
3. ضعها عند ب وصفرها في اتجاه ب أ؛ ارسم شعاع⁦70°⁩ في جهة الشعاع الأول.
4. سم نقطة التقاطع ج، وراجع الزاويتين.

الناتج: المثلث الناتج قاعدته⁦6⁩ سم، وزاويتا القاعدة⁦40°⁩ و⁦70°⁩.

مثال محلول 3

ارسم مثلثا فيه أ ب = ⁦5⁩ سم، وأ ج = ⁦3⁩ سم، والزاوية المحصورة عند أ تساوي⁦60°⁩.

1. ارسم أ ب بطول⁦5⁩ سم.
2. ارسم عند أ شعاعا يصنع⁦60°⁩ مع أ ب.
3. قس⁦3⁩ سم من أ على الشعاع وحدد ج.
4. صل ج بب، ثم راجع الضلعين والزاوية المحصورة.

الناتج: الرأس ج على شعاع⁦60°⁩ وعلى بعد⁦3⁩ سم من أ؛ الضلع المعطى الآخر أ ب طوله⁦5⁩ سم.