ماذا سنتعلم؟

• أتعرف ساقي المثلث متساوي الساقين وقاعدته.
• أستعمل خاصية الارتفاع النازل من الرأس على القاعدة: ينصف القاعدة وينصف زاوية الرأس.
• أحسب أطوالا وزوايا مجهولة في المثلث متساوي الساقين وأعلل إجابتي.

وجه الهرم مثلث

الأهرامات المصرية لها أوجه جانبية على شكل مثلثات. ضلعان من كل مثلث متساويان في الطول. ما اسم هذا المثلث؟ وماذا يحدث إذا أنزلنا عمودا من رأسه على القاعدة؟

الساقان والقاعدة

في المثلث متساوي الساقين نسمي الضلعين المتساويين ساقين، ونسمي الضلع الثالث القاعدة. الرأس هو النقطة التي يلتقي عندها الساقان. في المثلث أ ب جـ إذا كان أ ب = أ جـ فالرأس أ والقاعدة ب جـ.

العمود ينصف القاعدة

ننزل من الرأس أ عمودا أ د على القاعدة ب جـ. يتكون مثلثان قائمان متطابقان، فيكون ب د = د جـ. إذا كانت القاعدة ⁦10⁩ سم فكل جزء ⁦5⁩ سم.

العمود ينصف زاوية الرأس

العمود النازل من الرأس ينصف زاوية الرأس أيضا. إذا كانت زاوية الرأس ⁦64°⁩ فإن كل زاوية من الزاويتين الناتجتين ⁦64 ÷ 2 = 32°⁩.

الطي يكشف التماثل

لو طوينا المثلث متساوي الساقين على طول العمود النازل من الرأس لانطبق نصفاه تماما. لذلك نقول إن هذا العمود محور تماثل للمثلث، وللمثلث محور تماثل واحد.

نجمع المعلومات

محيط مثلث متساوي الساقين ⁦36⁩ سم، وطول كل ساق ⁦13⁩ سم. القاعدة = ⁦36 − 13 − 13 = 10⁩ سم. العمود النازل من الرأس ينصفها، فنصف القاعدة ⁦5⁩ سم.

اكتشف الخطأ: في كل مثلث؟

قال ياسين: العمود النازل من الرأس ينصف القاعدة في كل مثلث. هذا خطأ. في مثلث مختلف الأضلاع قد يقسم العمود القاعدة إلى ⁦3⁩ سم و⁦7⁩ سم. الخاصية تصح عندما يكون الرأس هو رأس المثلث متساوي الساقين.

فكر: نحوله إلى مستطيل

نقص مثلثا متساوي الساقين على امتداد الارتفاع، فنحصل على مثلثين قائمين متطابقين. ندير أحدهما نصف دورة ونلصقه بالآخر من الضلع المقابل للزاوية القائمة، فيتكون مستطيل. بعداه: الارتفاع ونصف القاعدة.

مثال محلول 1

المثلث أ ب جـ متساوي الساقين وفيه أ ب = أ جـ = ⁦15⁩ سم، وب جـ = ⁦18⁩ سم. رسم العمود أ د على ب جـ. أوجد ب د ود جـ.

1. العمود النازل من الرأس أ ينصف القاعدة ب جـ.
2. ⁦18 ÷ 2 = 9⁩.
3. إذن ب د = د جـ = ⁦9⁩ سم.

الناتج: ب د = د جـ = ⁦9⁩ سم.

مثال محلول 2

في مثلث متساوي الساقين زاوية الرأس ⁦50°⁩، والعمود النازل من الرأس على القاعدة ينصفها. أوجد زاوية القاعدة وكل زاوية ناتجة عن العمود.

1. زاوية الرأس ⁦50°⁩، فمجموع زاويتي القاعدة ⁦180 − 50 = 130°⁩.
2. زاويتا القاعدة متساويتان: ⁦130 ÷ 2 = 65°⁩.
3. العمود ينصف زاوية الرأس: ⁦50 ÷ 2 = 25°⁩.
4. نتحقق في المثلث القائم: ⁦25 + 65 + 90 = 180°⁩.

الناتج: زاوية القاعدة ⁦65°⁩، وكل زاوية ناتجة عن العمود ⁦25°⁩.

مثال محلول 3

محيط مثلث متساوي الساقين ⁦40⁩ سم وقاعدته ⁦12⁩ سم. أوجد طول كل ساق، ثم طول نصف القاعدة.

1. مجموع الساقين ⁦40 − 12 = 28⁩ سم.
2. الساقان متساويتان: ⁦28 ÷ 2 = 14⁩ سم.
3. نصف القاعدة ⁦12 ÷ 2 = 6⁩ سم.

الناتج: كل ساق ⁦14⁩ سم، ونصف القاعدة ⁦6⁩ سم.