الصف 11 · العلمي · المعادلات والمتباينات

الأسس واللوغاريتمات: نحسب لقدّام ونسأل بالعكس

بمحل الأصص، نبدأ بأصيص واحد. بكل جولة بنجيب عددًا يساوي الموجود، فيتضاعف العدد. نشوف الصور أولًا، وبعدين نعطي العملية اسمها الرياضي.

واحد، ثم اثنان، ثم أربعة، ثم ثمانية

البداية: أصيص واحد، قبل أي تضاعف — لدينا واحد قبل البدء؛ صفر جولات لا يعني صفر أصص.

الجولة الأولى: نضاعف 1 فيصبح 2 — نضيف عددًا يساوي الموجود؛ هذه مضاعفة، وليس إضافة أصيصين في كل مرة.

الجولة الثانية: نضاعف 2 فيصبح 4 — نضيف عددًا يساوي الموجود؛ هذه مضاعفة، وليس إضافة أصيصين في كل مرة.

الجولة الثالثة: نضاعف 4 فيصبح 8 — نضيف عددًا يساوي الموجود؛ هذه مضاعفة، وليس إضافة أصيصين في كل مرة.

من 2 إلى 4 أضفنا 2، ومن 4 إلى 8 أضفنا 4. العدد المضاف يتغير؛ الذي يبقى ثابتًا هو الضرب في 2.

2^3=2\times2\times2=8\qquad 2\times3=6

الأس 3 يعدّ العوامل 2 في الضرب المتكرر. هنا نفسره كعدد جولات صحيح غير سالب. الأُسس السالبة والكسور لها معنى رياضي أيضًا، ولا نفسرها كجولات شراء أصص.

نفس العلاقة، سؤالان

عدد الجولات n

الأس: 2⁰ = 1 أصص.

اللوغاريتم: كم أسًا نعطي 2 حتى يصير الناتج 1؟ الجواب 0.

\log_2(1)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2^{0}=1

القواعد تطلع من معنى الضرب

2^2\times2^3=(2\times2)(2\times2\times2)=2^5

لأننا جمعنا مجموعتي العوامل، نجمع الأسين عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه.

a^m a^n=a^{m+n}

\frac{2^3}{2^2}=2^{3-2}=2,\qquad\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

في القسمة تختصر العوامل المشتركة، فنطرح الأسين؛ المقام لا يساوي صفرًا.

(2^2)^3=2^{2\times3}=2^6,\qquad(a^m)^n=a^{mn}

ثلاث مجموعات من عاملين تعطي ستة عوامل.

a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}

للأساس غير الصفري: الأس صفر يعطي 1، والسالب يعطي المقلوب. مثلًا 2⁻¹=1/2؛ الأس السالب لا يجعل الناتج سالبًا.

نستعمل هنا أساسًا موجبًا لتبقى قواعد القوى مع الأُسس الحقيقية معرفة.

اللوغاريتم يعيد الأس

a^u=b\quad\Longleftrightarrow\quad\log_a b=u

شروط اللوغاريتم الحقيقي: الأساس a موجب ولا يساوي 1، وما داخله b موجب. يمكن أن يكون الأساس بين 0 و1 أيضًا.

\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N

\log_a\left(\frac MN\right)=\log_a M-\log_a N,\qquad\log_a(M^r)=r\log_a M

هنا M وN موجبان، والأساس يحقق شروطه. جمع اللوغاريتمات مرتبط بضرب ما داخلها؛ لا نوزع اللوغاريتم على جمع داخل القوس.

اكشف الخطأ: هل log₂(8+8) يساوي log₂8 + log₂8؟

ثلاثة أمثلة، مع سبب كل خطوة

١ · نبحث عن الأس

$2^x=8=2^3$
نكتب العدد 8 باستعمال الأساس نفسه.
$x=3$
لأن 2 مضروبًا بنفسه ثلاث مرات يعطي 8. ليست 2×x.

٢ · الأس تعبير كامل

$2^{x+1}=16=2^4$
الأس هنا x+1 كله، وليس x وحده.
$x+1=4\Rightarrow x=3$
نساوي الأسين لأن الأساس نفسه موجب ولا يساوي 1.
$2^{3+1}=16$
نراجع بالتعويض في الأصل.

٣ · لوغاريتم مع مجال

$\log_2(x-1)=3,\quad x-1>0$
نبدأ بالمجال: x>1.
$x-1=2^3=8\Rightarrow x=9$
اللوغاريتم يسأل: أي أس للأساس 2 يعطينا ما داخل القوس؟
$9-1=8>0,\quad\log_2 8=3$
الجواب يحقق المجال والقيمة معًا.

المجال يسمح بالحساب، والحل يحقق القيمة أيضًا

\log_2(x-1)=3

جرّب قيمة x

عند x = 1، ما داخل اللوغاريتم هو x−1 = 0.

الداخل صفر أو سالب: اللوغاريتم غير معرف في الأعداد الحقيقية.

هذا ليس حلًا؛ لم يتحقق شرط المجال أصلًا.

خمسة تدريبات: أحسب ثم أفسّر

اكتب x، ثم اختَر السبب بعد فحص جوابك. الأرقام العربية مقبولة. عند استخدام تلميح، جرّب لاحقًا بدونه.

التدريب 1

2^x=16

التدريب 2

\log_3(x-2)=2

التدريب 3

3^{2x-1}=27

التدريب 4

2^x=1

التدريب 5

2^x=\frac12

أراجع بكلماتي

الأس يحسب الناتج من الأساس والأس، واللوغاريتم يبحث عن الأس من الأساس والناتج. نحافظ على الأس كاملًا إذا كان تعبيرًا، ونفحص مجال اللوغاريتم، ثم نرجع إلى المعادلة الأصلية.

أراجع الدرس السابق · معادلتان تربيعيتان الدرس التالي · نظام المتباينات بالصور

دروس وحدة المعادلات